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人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
平面向量的数量积
【学习目标】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义； 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系； 【要点梳理】
要点一： 平面向量的数量积
1. 平面向量数量积(内积)的定义：
已知两个非零向量a与b，它们的夹角是?，则数量abcos?叫a与b的数量积，记作a?b，即有
a?b?abcos? ?0?????.并规定0与任何向量的数量积为0.
2.一向量在另一向量方向上的投影：bcos?叫做向量b在a方向上的投影. 要点诠释：
1. 两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别
(1)两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos?的符号所决定.
(2)两个向量的数量积称为内积，写成a?b；今后要学到两个向量的外积a?b，而a?b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
(3)在实数中，若a?0，且a?b?0，则b?0；但是在数量积中，若a?0，且a?b?0，不能推出
b?0.因为其中cos?有可能为0.
2. 投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当?为直角时投影为0；当?=0?时投影为b；当?=180?时投影为?b.
要点二：平面向量数量积的几何意义
数量积a?b表示a的长度|a|与b在a方向上的投影bcos?的乘积，这是a?b的几何意义。图所示分别是两向量a,b夹角为锐角、钝角、直角时向量b在向量a方向上的投影的情形，其中OB1?|b|cos?，它的意义是，向量b在向量a方向上的投影是向量OB1的数量，即OB1?OB1?a。 |a|资料来源于网络 仅供免费交流使用
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事实上，当?为锐角时，由于cos??0，所以OB1?0；当?为钝角时，由于cos??0，所以OB1?0；
00当??90时，由于cos??0，所以OB1?0，此时O与B1重合；当??0时，由于cos??1，所以
OB1?|b|；当??1800时，由于cos???1，所以OB1??|b|。
要点三：向量数量积的性质
设a与b为两个非零向量，e是与b同向的单位向量. 1.e?a?a?e?acos? 2.a?b?a?b?0
3.当a与b同向时，a?b?ab；当a与b反向时，a?b??ab. 特别的a?a?a或a?4.cos??2a?a a?bab
5.a?b?ab
要点四：向量数量积的运算律 1.交换律：a?b?b?a
??????3.分配律：?a?b??c?a?c?b?c
要点诠释：
2.数乘结合律：?a?b??a?b?a??b
1.已知实数a、b、c(b≠0)，则ab=bc?a=c.但是a?b?b?c?a?c； 2.在实数中，有(a?b)c=a(b?c)，但是a?bc?ab?c
显然，这是因为左端是与c共线的向量，而右端是与a共线的向量，而一般a与c不共线.
要点五：向量数量积的坐标表示
1.已知两个非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，a?b?x1x2?y1y2
????资料来源于网络 仅供免费交流使用
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2222.设a?(x,y)，则|a|?x?y或|a|?x2?y2
3.如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么
|a|?(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面内两点间的距离公式).
要点六：向量在几何中的应用
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的充要条件
?a//b?a??b(b?0)?(x1,y1)??(x2,y2)
?????(2)证明垂直问题，常用垂直的充要条件
a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0
(3)求夹角问题，利用cos??a?ba?b?2x1x2?y1y2x?y?x2?y2212122
(4)求线段的长度，可以利用a?【典型例题】
类型一：平面向量数量积的运算
(x2?x1)2?(y2?y1)2 a或P1P2?例1． （1）已知|a|=4，|b|=5，向量a与b的夹角为(2a+3b)·(3a―2b)；
?，求①a·b；②(a+b)2；③a2―b2；④3（2）若向量a+b+c=0，且|a|=3，|b|=1，|c|=4，求a·b+b·c+c·a的值。
【思路点拨】（1）(a+b)2=a?2a?b?b，(2a+3b)·(3a―2b)=6|a|2+5a·b―6|b|2 把模和数量积代入可得。（2）(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)，把模和数量积代入可得。
【答案】（1）10 61 －9 ―4（2）―13 【解析】 （1）①a?b?|a||b|cos②(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=61。 ③a2―b2=|a|2―|b|2=－9。
④(2a+3b)·(3a―2b)=6|a|2+5a·b―6|b|2=―4。 （2）∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)，
22?3?4?5?1?10。 2(a?b?c)2?(a?b?c)0?(32?12?42)∴a?b?b?c?c?a????13。
22【总结升华】（1）此类题目要充分利用有关的运算法则将其转化为求数量积及模的问题，特别要灵活应用a2=|a|2。
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人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_平面向量的数量积_提高
