高考数学北师大版必修4学案附答案 §5 从力做的功到向量的数量积
内容要求 1.通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量数量积与向量射影的关系.3.会进行平面向量数量积的运算(重点).4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系(难点)．
知识点1 向量的夹角与投影 (1)夹角：
→→
①定义：已知两个非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫作向量a与b的夹角； ②范围：0°≤θ≤180°； ③大小与向量共线、垂直的关系； 0°?a与b同向，??
θ＝?180°?a与b反向，
??90°?a⊥b.(2)投影：
→→
①定义：如图所示：OA＝a，OB＝b，过点B作BB1垂直于直线OA，垂足为B1，则OB1＝|b|cos
θ.|b|cos θ叫作向量b在a方向上的投影数量(简称投影)．
②大小与夹角的关系：
夹角 射影 【预习评价】 →→→→→→
等边△ABC中，BA与BC的夹角是多少？BA与AC，AC与BC的夹角又分别是多少？ π→→→→
提示 BA与BC的夹角就是△ABC的一个内角(∠ABC)，因此BA与BC的夹角是.
3π22→→→→
BA与AC首尾相接，由∠BAC＝知它的补角为π，因此BA与AC的夹角是π.
333
→→
AC与BC有共同的终点C，若延长AC，BC，则可知所得的角的大小与∠ACB的大小相等，均是ππ→→
，因此AC与BC的夹角是. 33
0° |b| 锐角 正值 90° 0 钝角 负值 180° －|b| 1
知识点2 向量的数量积
(1)定义：已知两个向量a与b，它们的夹角为θ，我们把|a||b|cos θ叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.
(2)几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上投影|b|cos θ的乘积，或b的长度|b|与a在b方向上投影|a|cos θ的乘积．
(3)物理意义：力对物体做功，就是力F与其作用下物体的位移s的数量积F·s. (4)性质：
①若e是单位向量，则e·a＝a·e＝|a|cos θ； ②a⊥b?a·b＝0(其中a，b为非零向量)； ③|a|＝a·a； ④cos θ＝
a·b(|a||b|≠0)；
|a|·|b|
⑤对任意两个向量a，b，有|a·b|≤|a||b|. (5)运算律：
交换律：a·b＝b·a.
结合律：(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)． 分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 【预习评价】
→→
1．已知三角形ABC中，BA·BC＜0，则三角形ABC的形状为( ) A．钝角三角形 C．锐角三角形
B．直角三角形 D．等腰直角三角形
→→→→
解析 ∵BA·BC＝|BA|·|BC|·cos B＜0， ∴cos B＜0，又∵B为△ABC的内角． π
∴＜B＜π. 2答案 A
2．已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．
1222222
解析 |a＋2b|＝(a＋2b)＝|a|＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)＝2＋2×2×2×＋2
2＝4＋4＋4＝12，∴|a＋2b|＝12＝23. 答案 23
题型一 数量积的基本概念 【例1】 下列判断：
2
①若a＋b＝0，则a＝b＝0；②已知a，b，c是三个非零向量，若a＋b＝0，则|a·c|＝|b·c|；③a，b共线?a·b＝|a||b|；④|a||b| 3 2 22 b2≥2a·b；⑦非零向量a，b满足：a·b>0，则a与b的夹角为锐角；⑧若a，b的夹角 为θ，则|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影长． 其中正确的是________（填序号）． 解析 由于a≥0，b≥0，所以，若a＋b＝0，则a＝b＝0，故①正确；若a＋b＝0，则a＝－b，又a，b，c是三个非零向量，所以a·c＝－b·c，所以|a·c|＝|b·c|，②正确； 2 2 2 2 a，b共线?a·b＝±|a||b|，所以③错； 对于④，应有|a||b|≥a·b，所以④错； 对于⑤，应该是a·a·a＝|a|a，所以⑤错； 对于⑥，a＋b≥2|a||b|≥2a·b，故⑥正确； 对于⑦，当a与b的夹角为0°时， 也有a·b>0，因此⑦错； 对于⑧，|b|cos θ表示向量b在向量a方向上的射影的数量，而非射影长，故⑧错． 综上可知①②⑥正确． 答案 ①②⑥ 规律方法 对于这类概念、性质、运算律的问题的解答，关键是要对相关知识深刻理解．特别是那些易与实数运算相混淆的运算律，如消去律、乘法结合律等，当然还有如向量的数量积中有关角的概念以及数量积的性质等． 【训练1】 给出下列结论： ①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是________． 解析 因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确； 当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确； 向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确； 2 2 2 a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确． 答案 ④ 题型二 数量积的运算 【例2】 已知|a|＝3，|b|＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b， a·(a＋b)． 解 ①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos 0°＝3×6×1＝18， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9＋18＝27. 若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°， 3 ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝3×6×(－1)＝－18， a·(a＋b)＝a2＋a·b＝9－18＝－9. ②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°. ∴a·b＝0，a·(a＋b)＝a＝9. ③当a与b的夹角是60°时， 1 有a·b＝|a||b|cos 60°＝3×6×＝9. 2 2 a·(a＋b)＝a2＋a·b＝18. 规律方法 (1)向量的数量积在表示时，a与b之间必须用实心圆点“·”来连接而不能用“×”连接，也不能省略． (2)求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ，θ∈[0，π]．②分别求|b|和|a|.③求它们的数量积，即a·b＝|a||b|cos θ. 【训练2】 已知|a|＝3，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，试求： (1)a·b； (2)(a＋b)·(a－b)； (3)(a＋b)·(a＋b)； (4)(a－2b)·(3a＋b)． 解 (1)a·b＝|a|·|b|·cos θ＝3×4×cos 120°＝－6. (2)(a＋b)·(a－b)＝a－b＝|a|－|b|＝－7. (3)(a＋b)·(a＋b)＝a＋2a·b＋b＝|a|＋2|a|·|b|·cos θ＋|b|＝13. (4)(a－2b)·(3a＋b)＝3a－5a·b－2b＝25. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 方向1 求向量的模 【例3－1】 已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求： (1)|a＋b|；(2)|3a－4b|；(3)|(a＋b)·(a－2b)|. 解 由已知a·b＝|a||b|cos θ ＝4×2×cos 120°＝－4， a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4. (1)∵|a＋b|＝(a＋b)＝a＋2a·b＋b ＝16＋2×(－4)＋4＝12. ∴|a＋b|＝23. (2)∵|3a－4b|＝(3a－4b) ＝9a－24a·b＋16b 4 2 2 2 2 2 2 2 2 ＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304， ∴|3a－4b|＝419. (3)∵(a＋b)·(a－2b)＝a－a·b－2b ＝16－(－4)－2×4＝12， ∴|(a＋b)·(a－2b)|＝12. 方向2 求向量的夹角 【例3－2】 设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°， 11 ∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝. 22|a|＝|2m＋n|＝＝ 2m＋n22 2 ＝4×1＋1＋4m·n 1 4×1＋1＋4×＝7， 2 2n－3m2 |b|＝|2n－3m|＝ ＝4×1＋9×1－12m·n ＝ 1 4×1＋9×1－12×＝7， 2 a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2 17＝－6×1＋2×1＝－. 22设a与b的夹角为θ，则 a·b1cos θ＝＝＝－. |a||b|27×7 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°，故a与b的夹角为120°. 方向3 数量积的综合应用 【例3－3】 设两个向量e1，e满足|e1＝2，|e2|＝1，向量e1与e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，求实数t的取值范围． 解 由向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角θ为钝角，得cos θ＝＜0， ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0. 12 化简，得2t＋15t＋7＜0，解得－7＜t＜－. 2 当夹角θ为π时，也有(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＜0，但此时夹角不是钝角． 5 7－2 2te1＋7e2·e1＋te2|2te1＋7e2||e1＋te2|
高中数学北师大版必修4学案附答案：第二章平面向量5从力做的功到向量的数量积学案
