优化方案高考理科数学北师大一轮复习练习：第8章 平面解析几何 第3讲知能训练轻松闯关 含答案

1．已知点A(1，－1)，B(－1，1)，则以线段AB为直径的圆的方程是( ) A．x2＋y2＝2 B．x2＋y2＝2 C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4 解析：选A.AB的中点坐标为(0，0)， |AB|＝

[1－（－1）]2＋（－1－1）2＝22，

所以圆的方程为x2＋y2＝2. 2．(2016·合肥质检)过坐标原点O作单位圆x2＋y2＝1的两条互相垂直的半径OA，OB，若

→→→

在该圆上存在一点C，使得OC＝aOA＋bOB(a，b∈R)，则以下说法正确的是( ) A．点P(a，b)一定在单位圆内 B．点P(a，b)一定在单位圆上 C．点P(a，b)一定在单位圆外

D．当且仅当ab＝0时，点P(a，b)在单位圆上

→→→→→→→

解析：选B.因为OC2＝(aOA＋bOB)2，且OA⊥OB，所以a2＋b2＋2abOA ·OB＝a2＋b2＝1，因此点P(a，b)一定在单位圆上，故选B.

3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是( )

A．(x－2)2＋(y－1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 D．(x－3)2＋(y－1)2＝1

解析：选A.由于圆心在第一象限且与x轴相切，故设圆心为(a，1)，a＞0，又圆与直线4x|4a－3|

－3y＝0相切，可得＝1，解得a＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1.

5

4．(2016·辽宁省五校联考)直线x－2y－2k＝0与直线2x－3y－k＝0的交点在圆x2＋y2＝9的外部，则k的取值范围为( )

3333

A．k＜－或k＞ B．－＜k＜

55553333C．－＜k＜ D．k＜－或k＞

4444

??x－2y－2k＝0，解析：选A.解方程组?得交点坐标为(－4k，－3k)．由题意知(－4k)2＋(－3k)2

??2x－3y－k＝0

33

＞9，解得k＞或k＜－，故选A.

55

5．已知圆C关于y轴对称，经过点(1，0)且被x轴分成两段弧长的比为1∶2，则圆C的方程为( )

3?2243?221??A.x±＋y＝ B.x±＋y＝

333???3?223?43?1??22C．x＋y±＝ D．x＋y±＝ 3?33?3??

2

解析：选C.由已知圆心在y轴上，且被x轴所分劣弧所对圆心角为π，设圆心(0，a)，半径

3ππ2433为r，则rsin＝1，rcos＝|a|，解得r＝，即r2＝，|a|＝，即a＝±，故圆C的方

333333

43

程为x＋?y±?＝. ?3?3

2

2

6．(2016·洛阳统考)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为( ) 49A. B. 55

9

C．2 D. 4解析：选B.因为直线ax＋by＋1＝0始终平分圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，从而2a＋b－1＝0.a2＋b2－2a－2b＋3＝(a－1)2＋(b－1)2＋1，而(a－1)2＋(b－1)2表示点(1，1)与直线2a＋b－1＝0上任一点距离的平方，其最小值d2min＝

?|2×1＋1×1－1|?24

??＝，所以a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为4＋1＝9，故选B.

55??522＋12??

7．(2014·高考陕西卷)若圆C的半径为1，其圆心与点(1，0)关于直线y＝x对称，则圆C的

标准方程为________．

解析：圆C的圆心为(0，1)，半径为1，标准方程为x2＋(y－1)2＝1. 答案：x2＋(y－1)2＝1 8．(2016·太原模拟)已知点P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，点C是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心，那么|PC|的最小值是________．

解析：点C到直线3x＋4y＋8＝0上的动点P的最小距离即为点C到直线3x＋4y＋8＝0的|3×1＋4×1＋8|

距离，而圆心C的坐标是(1，1)，因此最小距离为＝3.

5

答案：3

9．已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称，则a－b的取值范围是________．

解析：因为圆的方程可化为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a， 所以其圆心为(－1，2)，且5－a>0， 即a<5.

又圆关于直线y＝2x＋b成轴对称，

所以2＝－2＋b，所以b＝4.所以a－b＝a－4<1. 答案：(－∞，1)

10．已知圆C过点(1，0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为22，则圆的方程为________．

解析：由题意设圆心为(m，0)(m＞0)，则圆的半径r＝|1－m|，圆心到直线l：y＝x－1的距|m－1|离d＝，又直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为22，所以2

2

|1－m|2－

?|m－1|?2??＝?2?

22，整理得|1－m|＝2，解得m＝3(m＝－1不符合题意，舍去)，则r＝2，故圆的方程为(x－3)2＋y2＝4.

答案：(x－3)2＋y2＝4

11．求适合下列条件的圆的方程．

(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．

解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

?（3－a）＋（－2－b）＝r，则有?

|a＋b－1|

?2＝r，

2

2

2

b＝－4a，

解得a＝1，b＝－4，r＝22. 所以圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.

法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，与y＝－4x联立可求得圆心为(1，－4)． 所以半径r＝

（1－3）2＋（－4＋2）2＝22，

所以所求圆的方程为(x－1)2＋ (y＋4)2＝8.

(2)设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， 1＋144＋D＋12E＋F＝0，??

则?49＋100＋7D＋10E＋F＝0， ??81＋4－9D＋2E＋F＝0.解得D＝－2，E＝－4，F＝－95.

所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.

12．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1，0)和B(3，4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝410. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程．

解：(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1，2)． 则直线CD的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上， 得a＋b－3＝0.①

又因为直径|CD|＝410，所以|PA|＝210， 所以(a＋1)2＋b2＝40.②

??a＝－3??a＝5，

由①②解得?或?

???b＝6?b＝－2.

所以圆心P(－3，6)或P(5，－2)． 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40 或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.

1．已知两点A(0，－3)、B(4，0)，若点P是圆

的最小值为( )

11

A．6 B.

221

C．8 D.

2

C：x2＋y2－2y＝0

上的动点，则△ABP面积

解析：选B.如图，过圆心C向直线AB作垂线交圆于点P，这时△ABP的面积最小．直线