《基本初等函数的导数公式及导数的运算法则》教案
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（）
【教学目标】
．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则． ．学会利用公式求一些函数的导数．
【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则．
【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用． 【教学过程】
一、复习引入：
．y＝f(x)＝lim//?yf(x??x)?f(x) ?lim?x?0?x?x?0?x导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求一个函数在给定点的导数，就是求导函数值．它们之间的关系是函数y?f(x)在点x0处的导数就是导函数f(x)在点x0的函数值．
． 求函数y?f(x)的导数的一般方法： （）求函数的改变量?y?f(x??x)?f(x)．
/?yf(x??x)?f(x)． ??x?x?y/（）取极限，得导数y＝f?(x)?lim．
?x?0?x（）求平均变化率．几个用函数的导数 （）C'?0(为常数) （）x'?1 （）(x)'?2x （）()'??（）(x)'?二、讲解新课：
．为了方便，今后我们可以直接使用下面的基本初等函数的导数公式表． （）C'?0(为常数)； （）(x)'?nxnn?121x1 x212x
(n?Q)；
（）(sinx)'?cosx；
（）(cosx)'??sinx； （）(a)'?alna； （）(e)'?e； （）(logax)'?（）(lnx)'?xxxx1logae； x1． x．导数运算法则
法则 [u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)．
法则 [u(x)v(x)]??u'(x)v(x)?u(x)v'(x), [Cu(x)]??Cu'(x)．
'''?u?u'v?uv'法则 ???(v?0)． 2vv??三、讲解范例：
例 求的导数.
解：′()′()′()′ 例 求－－的导数.
解：′(－－)′()′－()′－′′－－， 例求y?2x?3x?5x?4的导数． 解：y'?3x?6x?5．
例求y?(2x?3)(3x?2)的导数．
解：y'?(2x?3)'(3x?2)?(2x?3)(3x?2)'
222'322?4x(3x?2)?(2x2?3)?3?18x2?8x?9．
例 ，求导数′.
解：′()′()′()′·′()′ 例 －
x－，求′.
x－)′()′－(x)′－′
x)′·x()′］－
解：′(－
()′()′－［(
?1112·－(2x·－x)
2－
1xx(x)(－
1)． x四、课堂练习：
.求函数的导数. ()－
解：()′()′()′()′′·· ()－
解：′(－)′()′－′′－ ()()(－)
解：′［()(－)］′()′(－)()(－)′
·(－)()(－)－－ ()()
解：′［()］′()′()()′
()(－)－() .填空：
()［()(－)］′( )(－)()( ) 解：［()(－)］′()′(－)()(－)′
·(－)()(·)()(－)()() ()()′( )( )
解：()′()′()′()()
.判断下列求导是否正确，如果不正确，加以改正. ［()(－)］′(－)·()
解：不正确.［()(－)］′()′(－)＋(＋)(－)′
(－)()(－)(－)－()． 五、小结 ：
由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数． 六、课后作业：（略）．
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（）
【教学目标】
．掌握基本初等函数的导数公式及导数的运算法则． ．理解掌握复合函数的求导法则； ．学会利用公式求一些函数的导数．
【教学重点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则；复合函数的求导法则．
【教学难点】基本初等函数的导数公式及导数的运算法则的应用；复合函数的求导法则的应用．
【教学过程】 一、复习引入：
．常见函数的导数公式： （）C'?0(为常数)； （）(x)'?nxnn?1(n?Q)；
（）(sinx)'?cosx； （）(cosx)'??sinx；
（）(a)'?alna； （）(e)'?e； （）(logax)'?（）(lnx)'?xxxx1logae； x1． x'''．导数的运算法则：
法则 [u(x)?v(x)]?u(x)?v(x)．
法则 [u(x)v(x)]??u'(x)v(x)?u(x)v'(x), [Cu(x)]??Cu'(x)．
?u?u'v?uv'法则 ???(v?0)． 2v?v?二、讲解新课：
．复合函数：由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数y?f(u)与u??(x)复合而成的函数一般形式是y?f[?(x)]，其中称为中间变量．
．求函数y?(3x?2)的导数的两种方法与思路：
22??方法一：y?x?[(3x?2)]?(9x?12x?4)?18x?12；
'2方法二：将函数y?(3x?2)看作是函数y?u和函数u?3x?2复合函数，并分别求对应变量的导数如下：
22??(u2)??2u，u??yux?(3x?2)?3，两个导数相乘，得
?u?yux?2u3?2(3x?2)3?18x?12， 从而有 y'x?y'u?u'x
对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求′时，就可以转化为求′和′的乘积，
关键是找中间变量，随着中间变量的不同，难易程度不同．
．复合函数的导数：设函数?()在点处有导数′?′()，函数()在点的对应点处有导数′′()，则复合函数(? ())在点处也有导数，且y'x?y'u?u'x 或′(? ())′()?′()．
证明：（教师参考不需要给学生讲） 设有增量Δ，则对应的，分别有增量Δ，Δ，因为φ()在点可导，所以? ()在点处连续．因此当Δ→时，Δ→．
当Δ≠时，由
?y?y?u?y?y???lim． 且lim．
?x?0?u?u?0?x?x?u?x∴lim?y?y?u?y?u?y?u?lim??lim?lim?lim?lim
?x?0?x?x?0?u?x?x?0?u?x?0?x?u?0?u?x?0?x即y'x?y'u?u'x (当Δ＝时，也成立)
．复合函数的求导法则
复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数．
．复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 三、讲解范例：
例试说明下列函数是怎样复合而成的？
⑴y?(2?x)； ⑵y?sinx； ⑶y?cos(?x)； ⑷y?lnsin(3x?1)．
232?42解：⑴函数y?(2?x)由函数y?u和u?2?x复合而成； 2⑵函数y?sinx由函数y?sinu和u?x复合而成；
2233⑶函数y?cos(?x)由函数y?cosu和u???44?x复合而成；
⑷函数y?lnsin(3x?1)由函数y?lnu、u?sinv和v?3x?1复合而成．
说明：讨论复合函数的构成时，“内层”、“外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等．
例写出由下列函数复合而成的函数：
⑴y?cosu，u?1?x； ⑵y?lnu，u?lnx． 解：⑴y?cos(1?x)； ⑵y?ln(lnx)． 例求y?(2x?1)的导数．
55解：设y?u，u?2x?1，则 y'x?y'u?u'x?(u)'x?(2x?1)'
225?5u4?2?5(2x?1)3?2?10(2x?1)4．
注意：在利用复合函数的求导法则求导数后，要把中间变量换成自变量的函数．有时复合函数可以由几个基本初等函数组成，所以在求复合函数的导数时，先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的，特别要注意将哪一部分看作一个整体，然后按照复合次序从外向内逐层求导．
例求()的导数．
解：令(); ∴y'x?y'u?u'x()′·()′·· ∴′() 例求(
?3)的导数．
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教案(共2课时) 人教课标版(新教案)
