（2）比较︱a·b︱与︱a︱×︱b︱的大小，你有什么结论？
在学生讨论交流的基础上，教师进一步明晰数量积的性质，然后再由学生利用数量积的定义给予证
明，完成探究活动。
2、明晰数量积的性质 数量积的性质
设a和b都是非零向量，则 数量积的性质
1、a⊥b a ·b=0
2、当a与b同向时，︱a·b︱=︱a︱︱b︱；当a与b反向时，
︱a·b︱= -︱a︱︱b︱， 特别地，a·a=︱a︱2或︱a︱=a?a
3、︱a·b︱≤︱a︱×︱b︱
3、性质的证明
这样设计体现了教师只是教学活动的引领者，而学生才是学习活动的主体，让学生成为学习的研究者，不断地体验到成功的喜悦，激发学生参与学习活动的热情，不仅使学生获得了知识，更培养了学生由特殊到一般的思维品质。
活动四：探究数量积的运算律 1、运算律的发现
关于运算律，教材仍然是以探究的形式出现，为此，首先提出问题9
问题9：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？ 通过此问题主要是想使学生在类比的基础上，猜测提出数量积的运算律。 学生可能会提出以下猜测： ①a·b= b·a ②（a·b）c=a (b·c)
③（a + b）·c =a·c +b ·c 猜测①的正确性是显而易见的。
关于猜测②的正确性，我提示学生思考下面的问题：
猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？
学生通过讨论不难发现，猜测②是不正确的。
这时教师在肯定猜测③的基础上明晰数量积的运算律： 2、明晰数量积的运算律 数量积的运算律
已知向量a、 b、c和实数λ，则：
（1）a·b= b·a （2）（λa）·b=λ（a·b)= a·（λb）
（3）（a + b）·c=a·c +b ·c
3、证明运算律
学生独立证明运算律（2）
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我把运算运算律（2）的证明交给学生完成，在证明时，学生可能只考虑到λ>0的情况,为了帮助学生完善证明，提出以下问题：
当λ<0时，向量a与λa，b与λb的方向 的关系如何？此时，向量λa与b及
a与λb的夹角与向量a与b的夹角相等吗？
师生共同证明运算律（3）
运算律（3）的证明对学生来说是比较困难的，为了节约课时，这个证明由师生共同完成，我想这也是教材的本意。
在这个环节中，我仍然是首先为学生创设情景，让学生在类比的基础上进行猜想归纳，然后教师明晰结论，最后再完成证明，这样做不仅培养了学生推理论证的能力，同时也增强了学生类比创新的意识，将知识的获得和能力的培养有机的结合在一起。
活动五：应用与提高
例1、（师生共同完成）已知︱a︱=6，︱b︱=4, a与b的夹角为60°，求
（a+2b ）·（a-3b），并思考此运算过程类似于哪种运算？
例2、（学生独立完成）对任意向量a ，b是否有以下结论： （1）(a+b)=a+2a·b+b
2
2
2
（2）(a+b )·(a-b)= a—b
2
2
例3、（师生共同完成）已知︱a︱=3，︱b︱=4, 且a 与b不共线，k为何值时，向量a+kb 与a-kb互相垂直？并思考：通过本题你有什么收获？
本节教材共安排了四道例题，我根据学生实际选择了其中的三道，并对例1和例3增加了题后反思。例1是数量积的性质和运算律的综合应用，教学时，我重点从对运算原理的分析和运算过程的规范书写两个方面加强示范。完成计算后，进一步提出问题：此运算过程类似于哪种运算？目的是想让学生在类比多项式乘法的基础上自己猜测提出例2给出的两个公式，再由学生独立完成证明，一方面这并不困难，另一方面培养了学生通过类比这一思维模式达到创新的目的。例3的主要作用是，在继续巩固性质和运算律的同时，教给学生如何利用数量积来判断两个向量的垂直，是平面向量数量积的基本应用之一，教学时重点给学生分析数与形的转化原理。
为了使学生更好的理解数量积的含义，熟练掌握性质及运算律，并能够应用数量积 解决有关问题，再安排如下练习：
1、 下列两个命题正确吗？为什么？
①、若a≠0，则对任一非零向量b，有a·b≠0． ②、若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c．
2、已知△ABC中，AB=a, AC=b，当a·b <0或a·b＝0时，试判断△ABC的形状。
安排练习1的主要目的是，使学生在与实数乘法比较的基础上全面认识数量积这一重要运算，
通过练习2使学生学会用数量积表示两个向量的夹角，进一步感受数量积的应用价值。
活动六：小结提升与作业布置
1、本节课我们学习的主要内容是什么？ 2、平面向量数量积的两个基本应用是什么？ 3、我们是按照怎样的思维模式进行概念的归纳和性质的探究？在运算律的探究过程中，渗透了哪些数学思想？
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4、类比向量的线性运算，我们还应该怎样研究数量积？
通过上述问题，使学生不仅对本节课的知识、技能及方法有了更加全面深刻的认识，同时也为下
一节做好铺垫，继续激发学生的求知欲。
布置作业：
1、课本P121习题2.4A组1、2、3。 2、拓展与提高：
已知a与b都是非零向量，且a+3b 与7a -5b垂直，a-4b与 7a-2b垂直
求a与b的夹角。
在这个环节中，我首先考虑检测全体学生是否都达到了“课标”的基本要求，因此安排了一组教材中的习题，目的是让所有的学生继续加深对数量积概念的理解和应用，为后续学习打好基础。其次，为了能让不同的学生在数学领域得到不同的发展，我又安排了一道有一定难度的问题供学有余力的同学选做。
六、板书设计 平面向量数量积的物理背景及其含义 数量积的概念 二、数量积的性质 四、应用与提高 一、 一、概念： 例1： 二、概念强调 （1）记法 例2： （2）“规定” 三、数量积的运算律 例3： 3、几何意义： 4、物理意义： 七、教学评价设计 评价方式的转变是新课程改革的一大亮点，课标指出：相对于结果，过程更能反映每个学生的发展变化，体现出学生成长的历程。因此，数学学习的评价既要重视结果，也要重视过程。结合“课标”对数学学习的评价建议，对本节课的教学我主要通过以下几种方式进行：
1、 通过与学生的问答交流，发现其思维过程，在鼓励的基础上，纠正偏差，并对其进行定性的评价。
2、在学生讨论、交流、协作时，教师通过观察，就个别或整体参与活动的态度和表现做出评价，以此来调动学生参与活动的积极性。
3、 通过练习来检验学生学习的效果，并在讲评中，肯定优点，指出不足。 4、 通过作业，反馈信息，再次对本节课做出评价，以便查漏补缺。
2.3.2平面向量的坐标运算
向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它是沟通代数、几何、三角的一种工具，具有丰富的实际背景。利用向量便于研究空间里涉及直线和平面的各种问题，而平面向量的坐标运算则为用“数”的运算处理“形”的问题搭建了桥梁，同时也为进一步研究线段的定比分点坐标公式、平面向量的数量积以及解析几何、立体几何的相关问题奠定了基础。
2.4 向量的应用 3.1 和角公式
3.2 倍角公式和半角公式--------二倍角的正弦、余弦、正切
是三角函数的重要公式 ，应用这组公式也是本章的重点内容。 同时，本节是学生在已经学习了两角和、差的正、余弦和正切的公式的基础上的进一步延伸，也是我们研究三角函数的图象及性质的基础。学好这一节，能够帮
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助学生从和角的余弦公式入手，用整体化和特殊化的思想将三角函数中的和、差、倍、半公式形成一个有机的整体。因此，本节课有着奠定基础，承前启后的作用。
3.3 三角函数的积化和差化积
1.1 正弦定理和余弦定理--------------（第1课时）
一、 教材分析
1、本节课的地位、作用和意义
在初中，学生已经学习了三角形的边和角的基本关系、全等三角形等与三角形有关的基础知识；同时在必修4 ，学生也学习了三角函数、向量三角恒等变换等内容。这些为学生学习正弦定理提供了坚实的基础。正弦定理是初中解直角三角形的延伸，是揭示三角形边、角之间数量关系的重要公式，在物理学等其它学科、工业生产以及日常生活等常常涉及解三角形的问题。
2、学情分析
①学生的认知发展理论； ②高中生已有的数学学习能力； ③本节课的内容特点； ④本班学生的实际情 3、课时安排：1课时：正弦定理的推导、正弦定理以及利用正弦定理来解已知两角一边的三角形等 and 已知两边以及其中一边的对角的三角形和其它简单应用。 二、教学目标分析 1、知识与技能目标
（1）掌握正弦定理的符号表达式
（2）能利用正弦定理来解决已知两角一边的三角形以及相关简单的实际问题。 2、过程方法与能力目标
（1）通过正弦定理的推导，逐步培养合情推理、探索数学规律的思维能力；
（2）在利用正弦定理来解已知两角及一边的三角形的过程中，逐步培养应用数学知识来解决社会实际问题的能力。 3、情感、态度、价值观目标
（1）通过参与、思考、交流，体验正弦定理的发现过程，逐步培养探索精神和创新意识。 （2）在运用正弦定理的过程，逐步培养实事求是、扎实严谨的科学态度。 三、重点和难点
重点：正弦定理的证明；正弦定理以及正弦定理的应用
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突出重点的方法：①用引导学生进行分类讨论、类比法、分组讨论法来突出正弦定理的推导；②用讲练结合，精选例题、练习和问题，归纳法来突出正弦定理的应用。
难点：正弦定理的猜想发现
突破难点的方法：转化法（由特殊向一般转化）、鼓励和引导法。 四、教法分析
教法：以引导—启发法为主，以讲授法、讨论法以及多媒体演示法。 理由：①学生的学习方法；②我个人的知识水平以及经验；③学校的条件
学法：以讨论法（师生对话、生生讨论）为主，以发现法、类比法、接受法、练习法为辅。
五、教学程序分析 教学环节 情 景 导 入 我会利用多媒体放映一 幢建筑物（图1），并 提出如下问题： （1）如何用量角器量出测 量建筑物的高度h？ （2）如果建筑物前有小湖 A教学内容以及问题设计 设计意图 通过生活中的知识引入，激发学生学习需要和学习期待，以问题引起学生学习热情和探索新知的欲望。 C图2B等障碍物，又该如何测量其高度h？ 在学生进行思考、讨论后， 根据同学的思路，我会引导 学生分别建立如图1和图2 的数学模型，利用初中的解 直角三角形知识求解。 最后引入这节课的问题： 这个实际问题说明了三 角形的边与角有紧密的 联系，这节课将研究表示 一般三角形的边与角的等 60 CD图3BA
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