通过计算机模拟演示，使学生获得感性知识的同时，为掌握理性知识创造条件，这样做，可以使学生饶有兴趣地学习，注意力也容易集中，符合教学论中的直观性原则和可接受性原则。 五、【学习过程】
1.新课引入
平面向量基本定理
在新课的引入中首先提出问题“在直角坐标系内，平面内的每一个点都可以用一对实数（即它的坐标）来表示。同样，在平面直角坐标系内，每一个平面向量是否也可以用一对实数来表示?”，问题的给出旨在启发学生的思维。而学生思维是否到位，是否可以达到自己建构新知识的目的，取决于老师的引导是否得当。
2创建新知识
以学生为主体绝不意味着老师可以袖手旁观，在创设问题情景后学生已进入激活状态，即想说但又不知道怎么说的状态，这时需老师适当加以点拨。指出：选择在平面直角坐标系内与坐标轴的正方向相同的两个单位向量i、j作为基底，任做一个向量a。由平面向量基本定理知，有并且只有一对实数x , y ，使a?xi?yj 我们把 ( x , y ) 叫做向量a的（直角）坐标，记作 a?(x,y) 其中x叫做a在 x 轴上的坐标，也叫做a的第一分量；y叫 做a在y轴上的坐标，也叫做a第二分量。 指导学生回答i, j 以及0的坐标。 至此，完成向量的坐标表示的新知识的建构过程。整个过程决非把老师的认识强加给学生，而是把学生放在认知的主体地位，学生通过观察幻灯片的演示和老师的提示，思维得到了发展，观察、归纳能力得到了提高，对新授知识的理解更加清晰和深刻。
4.突破难点、突出重点
本节的学习中最难理解的就是向量与实数对之间的一一对应关系。为了突破该难点，我认为可以如此操作。通过动画设计，并结合向量相等的概念，指出任一向量总可以通过平移，使起点与原点重合。则向量a的坐标就是点A的坐标；反过来，点A的坐标也就是向量
a的坐标。揭示向量坐标表示的实质：相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等的向
量。由此，向量与实数对之间的一一对应关系就不难理解了。
一一对应一一对应?? 向量OA ?????点A ( x , y ) 向量 (x , y )???
重点为向量的坐标运算。在理解了向量的坐标表示的实质后，学生很容易想到，向量的坐标运算其实也就是数量的代数运算。
（1）两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差：
?a?b?(x1?x2,y1?y2)（其中a?(x1,y1),b?(x2,y2)）
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???（2）一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标：
?? 如果A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?(x2?x1,y2?y1)；
（3）实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标： 若a?(x,y)，则?a?(?x,?y)； 5.简单应用
[ 例一 ] 如图，用基底i、j分别表示向量a、b、c、d，并求它们的坐标；
方法一：a=AA，c=（-2，-3）， 1?AA2=2i+3j，?a=（2，3）同理b=（-2，3）
?????????y5??????????A2?Bad=（2，-3）
方法二：?A（2，2），B（4，5）?a=（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）= （2，3）
同理b=（-2，3），c=（-2，-3），d=（2，-3）
方法三：?OA=（2，2），OB=（4，5）?a=OB-OA=（4，5）-（2，2）=（4-2，5-2）=（2，3）
同理b=（-2，3），c=（-2，-3），d=（2，-3）（2，2）=（2，3） 问题（问题变换）：（1）若点A、B的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)， ．．
那么AB的坐标是(x2,y2)吗?（2）求出a的坐标后，可以根据图形的什么特征，求出b、
?????b2?AA102?4dx????c?????????????c、d的坐标？ [ 说明 ] ：还可根据对称性分别求出b、c、d的坐标；
??????????[ 例二 ] 已知a=（x+y+1，2x-y），b=（x-y，x+2y-2），若2a=3b，求x、y的值； 分析：本题检测向量相等的概念，利用条件2a=3b，建立关于x、y的方程组，解方程组就可求x、y的值；
?2a=2解：（x+y+1，2x-y）=（2x+2y+2，4x-2y），3b=3（x-y，x+2y-2）=（3x-3y，3x+6y-6），
??46?x??2x?2y?2?3x?3y?3 ?????4x?2y?3x?6y?6?y?83?
[ 例三 ] 已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为（-2，1）、（-1，3）、（3，4），求顶点D的坐标；
分析：本题检测如何用向量的终点和始点坐标求向量的坐标，并利用相等向量的坐标相同，建立等量关系求D点的坐标；
解：设D点坐标为（x，y）AB=（-1，3）-（-2，1）=（1，2）DC=（3，4）-（x，y）=（3-x，4-y）
由AB=DC得1=3-x，2=4-y，所以x=2，y=2，即D点的坐标为（2，2） 6.深化拓展
对于学有余力的同学，我提供了一个课外思考题。
已知：点A（2，3）、B（5，4）、C（7，10），若AP?AB???AC(??R)，试求?为何值时，点P在一、三象限角平分线上？点P在第三象限内？
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??????????
????
对于这个问题，我先不予提示，学生通过自己的思考和今天的新授知识会找到切实可行的方法，寻求问题的解答。
六.教学反馈
本节课的教学重视发挥学生的主体作用与教师的主导作用，重视“过程”的教学，力求做到提出问题，循循善诱；疏通思路，耐心开导；解题练习，精心指导；存在不足，热情辅导；掌握过程，尽心引导。真正体现重情善导的教风与特色。
2.3 平面向量的数量积---平面向量数量积的物理背景及其含义
一、教材分析
1、学习任务分析
平面向量的数量积是继向量的线性运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排两课时，其中第一课时主要研究数量积的概念，第二课时主要研究数量积的坐标运算，本节课是第一课时。 本节课的主要学习任务是通过物理中“功”的事例抽象出平面向量数量积的概念，在此基础上探究数量积的性质与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象概括和推理论证的能力。其中数量积的概念既是对物理背景的抽象，又是研究性质和运算律的基础。同时也因为在这个概念中，既有长度又有角度，既有形又有数，是代数、几何与三角的最佳结合点，不仅应用广泛，而且很好的体现了数形结合的数学思想，使得数量积的概念成为本节课的核心概念，自然也是本节课教学的重点。 2、学生情况分析
学生在学习本节内容之前，已熟知了实数的运算体系，掌握了向量的概念及其线性运算，具备了功等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究性质和运算律。这为学生学习数量积做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。但也正是这些干扰了学生对数量积概念的理解，一方面，相对于线性运算而言，数量积的结果发生了本质的变化，两个有形有数的向量经过数量积运算后，形却消失了，学生对这一点是很难接受的；另一方面，由于受实数乘法运算的影响，也会造成学生对数量积理解上的偏差，特别是对性质和运算律的理解。因而本节课教学的难点数量积的概念。 二、教学目标设计
知识目标： 1、了解平面向量数量积的物理背景（功），理解数量积的含义及其物理意义、初步运用； 2、体会平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的性质和运算律， 并能运用性质和运算律进行相关的运算和判断；
3、体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。
能力目标：通过对平面向量数量积定义的剖析，培养学生分析问题发现问题能力，使学生的思维能力得到训练。
情感目标：通过本节课的学习，激发学生学习数学的兴趣，体会学习的快乐。 三、难重点
重点：平面向量的数量积定义。
难点：平面向量的数量积定义及平面向量数量积的运用 三、教法学法
采用启发引导式与讲练相结合，并借助多媒体教学手段，使学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后引导学生推导数量积的性质，通过例题和练习加深学生对平面向量数量积定义的认识，初步掌握平面向量数量积定义的运用。 四、课堂结构设计
本节课从总体上讲是一节概念教学，依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系，我按照以下顺序安排本节课的教学：
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创设问
题情景
?回顾向量的线的线性??回顾向量线性运算的研究方法?物理背景???功?抽象概念
?定义义分??几何意义 ?物理意义??证明性质?探究运算律探究运算律 ?
?证明运算律应用概念 例题与练习
小结提升
即先从数学和物理两个角度创设问题情景，通过归纳和抽象得到数量积的概念，在此基础上研究数量积的性质和运算律，使学生进一步加深对概念的理解，然后通过例题和练习使学生巩固概念，加深印象，最后通过课堂小结提高学生认识，形成知识体系。 五、教学过程设计
活动一：创设问题情景，激发学习兴趣
正如教材主编寄语所言，数学是自然的，而不是强加于人的。平面向量的数量积这一重要概念，和向量的线性运算一样，也有其数学背景和物理背景，为了体现这一点，我设计以下几个问题：
问题1：我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
问题2：我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用 问题3：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S， （1）力F所做的功W= 。
F （2） 请同学们分析这个公式的特点： W（功）是 量， F（力）是 量， S（位移）是 量，
α S α是 。
问题1的设计意图在于使学生了解数量积的数学背景，让学生明白本节课所要研究的数量积与向量的加法、减法及数乘一样，都是向量的运算，但与向量的线性运算相比，数量积运算又有其特殊性，那就是其结果发生了本质的变化。
问题2的设计意图在于使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向。
问题3的设计意图在于使学生了解数量积的物理背景，让学生知道，我们研究数量积绝不仅仅是为了数学自身的完善，而是有其客观背景和现实意义的，从而产生了进一步研究这种新运算的愿望。同时，也为抽象数量积的概念做好铺垫。
活动二：探究数量积的概念 1、概念的抽象
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探究性质 ??探究性质
在分析“功”的计算公式的基础上提出问题4 问题4：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？
学生通过思考不难回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。这样，学生事实上已经得到数量积概念的文字表述了，在此基础上，我进一步明晰数量积的概念。
2、概念的明晰
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为?，我们把数量 ︱a︱·︱b︱cos?叫做，记作：a·b，即：a·b= ︱a︱·︱b︱cos? a与b的数量积（或内积）
在强调记法和“规定”后 ，为了让学生进一步认识这一概念，提出问题5
问题5：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？并完成下表：
角?的范围 0°≤?<90° 0°
通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫。
3、探究数量积的几何意义 这个问题教材是这样安排的：在给出向量数量积的概念后，只介绍了向量投影的定义，直到讲完例1后，为了证明运算律的第三条才直接以结论的形式呈现给学生，我觉得这样安排似乎不太自然，还不如在给出向量投影的概念后，直接由学生自己归纳得出，所以做了调整。为此，我首先给出给出向量投影的概念，然后提出问题5。 如图，我们把│b│cos?（│a│cos?） 叫做向量b在a方向上（a在b方向上）的投影， 记做：OB1=│b│cos? 问题6：数量积的几何意义是什么？ 这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性，而且也节约了课时。
4、研究数量积的物理意义
数量积的概念是由物理中功的概念引出的，学习了数量积的概念后，学生就会明白功的数学本质就是力与位移的数量积 。为此，我设计以下问题 一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。
问题7：
（1） 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。 （2）尝试练习：一物体质量是10千克，分别做以下运动： ①、在水平面上位移为10米； ②、竖直下降10米； ③、竖直向上提升10米；
④、沿倾角为30度的斜面向上运动10米； 分别求重力做的功。
活动三：探究数量积的运算性质 1、性质的发现
教材中关于数量积的三条性质是以探究的形式出现的，为了很好地完成这一探究活动，在完成上述练习后，我不失时机地提出问题8：
（1）将尝试练习中的① ② ③的结论推广到一般向量，你能得到哪些结论？
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高中数学面试抽题汇总
