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例11、xarcsinxdx??arcsinxd1?x2
??1?x2??1?x2arcsinx?x?c
注意：
1一般而言分部积分法和换元法同时使用会有更好的效果。 2分部积分常适用于下列积分
?xmlnnxdx,?xmeaxdx,?xmsinaxdx,?xmcosaxdx,?eaxsinbxdx,
axmmecosbxdx,xarcsinxdx,x???arctgxdx等等。
4．4几种特殊类型的函数积分举例
一有理函数的积分举例
Pn(x)a0xn?a1xn?1?.....an 有理函数是指形如R(x)?，其中 ,m,n为正整数或?Qm(x)b0xm?b1xm?1?......bm者0，a0,.....an;b0,....bm都是常数，且a0?0,b0?0，当n 定理1：任何实多项式都可以分解成为一次因式与二次因式的乘积。 定理2：有理函数的分解 16 第- –页 高数学习资料(含讲义及全部内容) A?A1A2P(x)?????Q(x)(x?a)?(x?a)??1(x?a)B?B1B2?????(x?b)(x?b)?(x?b)??1M3x?N3M1x?N1M2x?N2????(x2?px?q)?(x2?px?q)??1(x2?px?q)R?x?S?Rx?S1R2x?S2?21????(x?rx?s)?(x2?rx?s)??1(x2?rx?s)?部分分式： 11Mx?NMx?N ,,,nn22ax?b?ax?b?x?px?q?x?px?q? 其中：p2?4q?0上述常数用待定系数法可以确定。 方法：分式→真分式→部分分式 x?3?x2?5x?6dx x?3AB??解：2用待定系数法：A=-5,B=6 x?5x?6x?2x?3x?3?56dx=?(?)dx??5ln|x?2|?6ln|x?3|?C 则：?2x?2x?3x?5x?6例： 1) 2)?x?1dx 2x?x?12x?1x?1 ?2x?x?12?x?4??x?3?解： ?AB ?x?4x?317 第- –页 高数学习资料(含讲义及全部内容) ?A?x?3??B?x?4? ?x?4??x?3?A?x?3??B?x?4??x?1 令 x?4 令 x??35A?, 72B? 7∴ x?11?52? dx????dx?x2?3x?5?7?x?4x?3? ? 3) ?52lnx?4?lnx?3?C 7711x?2dx?arctan?c 2x?4x?822112x?4?2 dx??x2?4x?8?2x2?4x?8 21 ?1d?x?4?8??d?x?2? 2??222x?4x?8?x?2??2 ?备用习题： 4) 11x?2lnx2?4x?8?arctan?c 222x?2?x2?2x?3dx 5) 1?x(x?1)dx 6) 1?(1?2x)(1?x2)dx 二 三角有理式积分 ?R?sinx,cosx?dx 18 第- –页 高数学习资料(含讲义及全部内容) 三角函数的有理式是指三角函数经过有限次四则运算所构成的函数求这类函数的积分是可以通过如下变换计算： x令 tan?t1?t2cosx?2tsinx? dx?2dt 21?t21?t21、?12?sinxdx??122?2t?1?t2dt 1?t2 ??1t2?t?1dt ??1?1??1?2?3?2d?t? 2???t??2??????2???? ?2t?13arctan2 3?C22tanx ?22?13arctan?C 3、?dxsec22x3?cos2x??3sec2x?1dx ?113?3tan2x?4d3tanx ?13?13tanx2arctan2?C ?13tanx23arctan2?C 3 ?1?sinxsinx(1?cosx)dx 19 1?t2第- –页 高数学习资料(含讲义及全部内容) 解： xtan?t21?t2cosx?1?t21?sinx?2t1?t2 dx?2dt1?t2则： 2t22dt1?sinx1?t= dx?sinx(1?cosx)?2t221?t1?t(1?)221?t1?t1(1?t)21111??dt??(?2?t)dt?(lnt?2t?t2)?C 2t2t221xx1x=lntg?tg?tg?C 22242注意：一般而言，万能公式具有通用性，但不一定是最简单的。 三.简单无理函数积分举例 21) ?x?1dx x解：令 x?1?u dx?2udu ?uu21x?12udu?2?2du?2?(1?2)du dx=?2xu?1u?1u?1=2u?2arctgu?C=2x?1?2arctgx?1?C dx 2) ?1?3x?2 3 x?2?u dx?3u2du u(u?1)?u?1?13u2dudu =?=3?1?u1?udx解：?1?3x?21u2?3?(u?1?)du?3?3u?3ln(1?u)?C 1?u220 第- –页
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