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第四章不定积分
教学目的与要求
1．理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。
2． 掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换
元积分法与分部积分法。
3． 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
在第二章中，我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题，本章将讨论它的反问题，即要求一个导函数的原函数，也就是求一个可导函数，使它的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一 。 4.1 不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间上，可导函数的导函数为，即对任一，都有
或，
那末函数就称为（或）在区间上的原函数。
例如，x^2是2x的原函数，lnx是1/x的原函数因，原函数。
注：1由此定义上问题是：已知f(x),如何去求原函数
，故是的
2．那一个函数具备何种条件，才能保证它的原函数一定存在呢？若存在是否唯一定理1：若f(x)在I上连续，则f(x)在I上一定有原函数。
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?1,x?0注意：并不是任意在I上有定义的函数都有原函数，反例f(x)??
0,x?0?定理2：设f(x)在区间I上有原函数，且F(x)是其中一个原函数，则 1． f(x)的任意两个原函数相差一个常数
2． F(x)+C也是f(x)的原函数
定义2 在区间上，函数区间上的不定积分，记作
的带有任意常数项的原函数称为（或）在
。
其中记号量。
称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变
由此定义及前面的说明可知，如果
就是
的不定积分，即
是在区间上的一个原函数，那么
。
因而不定积分可以表示的任意一个原函数。
第一，如果有果
是
，那么，对任意常数C，显然也有
的原函数，那
也是
的原函数。
，即如
第二，当为任意常数时，表达式
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就可以表示是函数族
的任意一个原函数。也就是说，的全体原函数所组成的集合，就
。
例 1 求.
解 由于=，所以是的一个原函数。因此
.
例 2 求.
解 当时,由于内，
=,所以是在内的一个原函数。因此，在
当时，由于==，由上同理，在内，
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将结果合并起来，可写作
例3、 已知F?x?是lnx的一个原函数，
x 求：dF?sinx? 解：F/(x)?lnx
x dF(sin x)?dF(sinx)dsinx?lnsinxcosxdx
dsinxsinx 例4、f?x?的导函数是sinx ，则f?x?的原函数
?sinx?c1x?c2，(c1、c2为任意常数)
例5、在下列等式中，正确的结果是 C A、
? f/(x)dx?f?x?
B、
? df(x)?f(x)
C、
d f (x)dx?f(x) D、d? f (x)dx?f(x) ?dx
二基本积分表
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由于积分是微分的逆运算，因此可以有微分基本表导出积分表。见课本积分表。 三不定积分的性质
根据不定积分的定义，可以推得它的如下两个性质：
性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和，即
.
注意：差的积分等于积分的差
性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即
(是常数,).
例 1 求.
解 =
=
=
=
=
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