高数学习资料(含讲义及全部内容)
第四章不定积分
教学目的与要求
1.理解原函数概念、不定积分和定积分的概念。
2. 掌握不定积分的基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换
元积分法与分部积分法。
3. 求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。
在第二章中,我们讨论了怎样求一个函数的导函数问题,本章将讨论它的反问题,即要求一个导函数的原函数,也就是求一个可导函数,使它的导函数等于已知函数。这是积分学的基本问题之一 。 4.1 不定积分的概念与性质 一 原函数与不定积分的概念
定义1 如果在区间上,可导函数的导函数为,即对任一,都有
或,
那末函数就称为(或)在区间上的原函数。
例如,x^2是2x的原函数,lnx是1/x的原函数因,原函数。
注:1由此定义上问题是:已知f(x),如何去求原函数
,故是的
2.那一个函数具备何种条件,才能保证它的原函数一定存在呢?若存在是否唯一定理1:若f(x)在I上连续,则f(x)在I上一定有原函数。
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?1,x?0注意:并不是任意在I上有定义的函数都有原函数,反例f(x)??
0,x?0?定理2:设f(x)在区间I上有原函数,且F(x)是其中一个原函数,则 1. f(x)的任意两个原函数相差一个常数
2. F(x)+C也是f(x)的原函数
定义2 在区间上,函数区间上的不定积分,记作
的带有任意常数项的原函数称为(或)在
。
其中记号量。
称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变
由此定义及前面的说明可知,如果
就是
的不定积分,即
是在区间上的一个原函数,那么
。
因而不定积分可以表示的任意一个原函数。
第一,如果有果
是
,那么,对任意常数C,显然也有
的原函数,那
也是
的原函数。
,即如
第二,当为任意常数时,表达式
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就可以表示是函数族
的任意一个原函数。也就是说,的全体原函数所组成的集合,就
。
例 1 求.
解 由于=,所以是的一个原函数。因此
.
例 2 求.
解 当时,由于内,
=,所以是在内的一个原函数。因此,在
当时,由于==,由上同理,在内,
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将结果合并起来,可写作
例3、 已知F?x?是lnx的一个原函数,
x 求:dF?sinx? 解:F/(x)?lnx
x dF(sin x)?dF(sinx)dsinx?lnsinxcosxdx
dsinxsinx 例4、f?x?的导函数是sinx ,则f?x?的原函数
?sinx?c1x?c2,(c1、c2为任意常数)
例5、在下列等式中,正确的结果是 C A、
? f/(x)dx?f?x?
B、
? df(x)?f(x)
C、
d f (x)dx?f(x) D、d? f (x)dx?f(x) ?dx
二基本积分表
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由于积分是微分的逆运算,因此可以有微分基本表导出积分表。见课本积分表。 三不定积分的性质
根据不定积分的定义,可以推得它的如下两个性质:
性质1 函数的和的不定积分等于各个函数的不定积分的和,即
.
注意:差的积分等于积分的差
性质2 求不定积分时,被积函数中不为零的常数因子可以提到积分号外面来,即
(是常数,).
例 1 求.
解 =
=
=
=
=
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