立体几何中的向量方法——空间角的计算
环节一：导读课本，引入课题
师：解决立体几何中的问题有三种方法：综合方法、向量方法、坐标方法，而向量方法通常与坐标方法结合起来使用。请同学们看课本选修2—1第105页的这段文字，它的意思，有两个：第一，用向量的方法可以帮助我们解决立体几何中的位置关系证明以及空间角和距离的定量问题。今天我们主要研究用向量方法来解决立体几何中空间角的计算.。
板书课题：立体几何中的向量方法——空间角的计算
第二，从这段文字中可以看出使用向量方法的基本操作程序分为三步，哪三步呢？ 生齐答
师：不错！即：1.向量表示；2.向量计算；3.回归几何. “三步曲”，
环节二：，梳理认知，再练课本
1、梳理认知
师： .立体几何中有线线角、线面角、二面角共三种，这三种空间角的计算都可以利用向量的数量积公式cos??n1?n2n1?n2来计算。
下面我们来一起分析两个向量n1，n2的夹角?与三种空间角的对应关系。 随着幻灯片的演示，教师讲解：
当n1与n2分别为两条直线l1与l2的方向向量时，l1与l2所成的角?与?的关系是
???(0???)??2此时有：cos??cos? ???????(?????)??2当n1为直线l的方向向量，n2为平面?的法向量时，l与?所成的角?与?的关系是
?????(0???)??2 此时有：
???2sin??cos?
????(?????)??22当n1与n2分别为平面?和平面?的法向量时， 是：???或???
通过课件展示法向量的方向与二面角的关系以后，得出结论：
当两个法向量同在二面角的内部或外部时?与?互补；若一内一外则?=?.
?与?所成的二面角?与?的关系
2.再练课本
纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行,下面我们来动手做一做这道课本上的题.，看谁算的
又快又准.。
选修2-1课本第118页第11题改编
CA?CB?1,?BCA?90?,AA1?2, 如图，在直三棱柱ABC?A1B1C1的底面ABC中，
(1)BC1与CN所成角的余弦值为____; (2)CN与平面BA1C1所成角的余弦值为____.
C1B1A1
CN B
A
【解题交流】 师：由于有明显的三线两两垂直，所以非常适合建立空间直角坐标系，又数字简单，计算方便，所以适合用向量方法。以点Ｃ为坐标原点建系，第一问计算结果是
生１：
10 5师：是这个结果吗？ 生（齐）：是
师（微笑地点头）：第二问呢？ 生２：
31010 师：算的很对，有没有算错的？我看了一下，还真有几位同学算错了，要知道向量方法就是将证明转化成计算，为了计算的准确，合理的建立坐标系又是关键，怎样才算是合理呢？在下面的环节中，我们一起来探讨
环节三：激活课本，拓展思维
师：.我们还是从课本开始，请同学们看课本必修2第69页例3
例1.（课本必修2第69页例3）.
师：这是一道好题啊！它揭示了空间图形中运动的不变性，即点Ｃ在圆周上只要不与直径ＡＢ的端点重合，就有这两个平面垂直。今年的文理科立体几何解答题，就是根据这道题改编的。今天我们也将这道题改编一下
变式１：如图，ＡＢ是圆Ｏ的直径，ＰＡ垂直于
P圆Ｏ所在的平面，Ｅ是ＰＢ的中点，点Ｃ在 圆周上，满足ＣＡ＝ＣＢ＝ＰＡ＝2，
E求二面角Ｂ—ＣＥ—Ａ的大小。
AOB
C【分析】：这道题数字比较简单，而且有很多垂直关系，我们应当首先想到用向量方法，
如何建立空间直角坐标系呢？下面我们分小组讨论一下（前后四个同学为一组）
片刻以后，全班交流
师：哪一个组先说一说，好，这一组，说说你们的想法。
生３：以点Ａ为坐标原点，过点Ａ作圆Ｏ的切线ＡＤ为ｘ轴，ＡＢ为ｙ轴，ＡＰ为ｚ轴。
师（追问）：说说你的理由。
生３：这样建系有两个好处，一是直接利用了ＰＡ垂直于ＡＢ；二是几个关键点或在坐标轴上或在坐标平面内，坐标表示比较简单。
师（点头微笑）：有道理！还有没有不同的呢？好，这一组的同学，你们是怎样建立坐标系的呢？
生４：我们是以Ｃ点为坐标原点，利用ＣＡ垂直于ＣＢ，作ＣＤ垂直于平面ＡＢＣ。 师：好！行！这两个组的同学都利用了现成的两线垂直，（环视一下后）还有没有别的建系方法呢？（如果没有发现用三线垂直的可以启发）图形中有没有三线垂直？
生５：Ｅ是ＰＢ的中点，Ｏ是ＡＢ的中点，所以ＯＥ／／ＡＰ，所以ＯＥ垂直于底面ＡＢＣ，连接ＯＣ，根据题设三角形ＡＢＣ为等腰直角三角形，ＯＣ垂直于ＯＢ，所以，以Ｏ为坐标原点，ＯＣ为ｘ轴，ＯＢ为ｙ轴，ＯＥ为ｚ轴，我觉得这样建系更好，因为各点都在坐标轴上，向量表示更简单。
师赞许地点了点头：来点掌声鼓励一下。 zPzPP z EEE yx AABBOOAByO y CCCx x
师：同学们，什么叫合理建系？明白了吗？那就是：第一、充分利用垂直关系；第二、使向量表示更简洁，运算更方便。下面一、二组用第一种方法算，第三组用第二种方法算，第四组用第三种方法算，看哪个组最先算出来。
约２分钟后，交流结果
师在各组汇报的基础上给予肯定后，接着追问：为什么我们算出法向量的夹角的余弦值是?100后，就肯定所求的二面角大小为120，而不是60呢？有谁告诉我？ 2生６：观察出来的。
师：这位同学的观察力不错，这个二面角的大小容易看出，是一个钝角，如果有时候看不出来，我们就要用法向量的方向与二面角的关系来检验。
下面我们把这一道题再改编一下，我们让点Ｅ在线段ＰＢ上动起来
变式２
如图，ＡＢ是圆Ｏ的直径，ＰＡ垂直于圆Ｏ所在的平面，Ｅ是ＰＢ上的动点，满足
BE?kBP，点Ｃ在圆周上，且ＣＡ＝ＣＢ＝ＰＡ＝k?(0,1),使得二面角B?CE?A的大小为150?，如
P2，问：是否存在
果存在，求出k的值，如果不存在说明理由.（2013年zE仙桃市高三5月考试题）
AB Oy C 【解题分析】 x 师：这是一个二面角的存在性问题，确切地说，是有关k值的定量问题。我们知道解决定量问题的首选工具是方程，能否得到一个关于k的方程呢？
生（齐）：可以。
生7：用k表示两个平面法向量的夹角的余弦，然后，根据所给二面角B—CE—A的大小为150，可以得到方程。
师：是否存在满足题设的k值就转化为这个方程是否有解了。这个思路很好，我们一起来算一算。
（课件展示运算过程和结果）
师：这个结果有点令人吃惊，因为以往所求的存在性问题大多是存在的，而这里却不存在，我们可以从运动变化的角度来分析一下：
当点E在线段PB上运动时，结合图形的直观性分析：
当点E趋近于B点时二面角B—CE—A越来越大，E和B重合时最大，为P—CB—A的补角，计算可得这个角为135；
当点E趋近于P点时二面角B—CE—A越来越小，E和P重合时最小，即二面角B—CP—A，大小为90?。
所以二面角B—CE—A大小的范围是(90?,135?)，因此，不存在这样的k值使得二面角的大小为150?。 【点评】：变式1，是一个静止状态下，求给定二面角的大小，我们通过建系以后，直接采用数量积公式求；变式2是在动态背景下求变化的二面角的大小，有两种思路：第一种思路，我们用方程这个工具，从定量的角度进行了分析，体现了方程的思想；第二种思路，我们借用直观图形，应用函数的观点分析，体现了数形结合的思想和函数的思想。 下面我们一起来做一道高考题，巩固一下今天所学的知识和方法
?0环节四：链接高考，落实课本
立体几何中的向量方法——空间角的计算
