函数与函数方程讲义1
一、函数概念与映射
1. (i)设A?{a1,a2,a3}，B?{b1,b2,b3,b4}.
(1) 求A到B的单射个数；（2）是否存在A到B的满射.
练习1 试作开区间(0,1)与闭区间[0,1]的一一映射
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2. 设函数f:N*?N*，并且对所有正整数n，有f(n?1)?f(n)，f(f(n))?3n.
求f(n)的解析式
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3. N??N?的映射p,q定义如下：
p(1)?2,p(2)?3,p(3)?4,p(4)?1,p(n)?n(n?5)；
q(1)?3,q(2)?4,q(3)?2,q(4)?1,q(n)?n(n?5).
(1) 作出N??N?的映射，使得对一切n?N?都有f(f(n))?p(n)?2，请举
出一个例子
(2) 证明：不存在这样的映射f，使得对一切n?N?都有f(f(n))?q(n)?2
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二、函数的性质
1. 已知f(x)?ln(x2?4x?5?x?2)?2x?20，求所以满足不等式
f(t2?1)?f(3t?1)??32构成的t的集合
练习
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设函数f(x)?2x?cosx,{an}是公差为
?的等差数列，8f(a1)?f(a2)?L?f(a5)?5?，则[f(a3)]2?a1a5=（ ）
A. 0 B. 116?2
C. 1?28 4
D. 1316?2 2. 函数f(x)的定义域关于原点对称，但不包括数0，对定义域中的任意数x，在定
义域中存在x1,x2，使x?x1?x2，f(x1)?f(x2)，且满足以下三个条件： （1） x1,x2是f(x)定义域中的数，f(x1)?f(x2)或0?|x2?x1|?2a，则
f(x1?x2)?f(x1)f(x2)?1；
f(x2)?f(x1)（2）f(a)?1（a为正常数） （3） 当0?x?2a时，f(x)?0.
证明：（1）f(x)是奇函数；（2）f(x)是周期函数；（3）f(x)在(0,4a)内为减函数.
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第一讲 - 函数概念与性质
