期末复习(三) 轴对称
, 01 本章结构图)
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?线段的垂直平分线的性质与判定轴对称
?等腰三角形的性质与判定
等边三角形的性质与判定?含30°角的Rt△的性质?最短路径问题
02 重难点突破
重难点1 轴对称与轴对称图形
【例1】 (绵阳中考)下列图案中，轴对称图形是(D)
??轴对称的识别及画图轴对称?
?关于坐标轴对称的点的坐标的关系?
1．下列图案中，是轴对称图形的有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，∠C′＝30°，则∠A的度数为60°．
3．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(4，6)，B(5，2)，C(2，1)，作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点A的对应点A′的坐标．
解：如图，A′(－4，6)．
重难点2 线段的垂直平分线
【例2】 已知，如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，CD交BE于点F.求证：BE垂直平分CD.
【思路点拨】 先根据HL证明Rt△EBC与Rt△EBD全等，可得ED＝EC，即点E在CD的垂直平分线上．又由BD＝BC可知点B在CD的垂直平分线上．最后根据两点确定一条直线得证BE就是线段CD的垂直平分线．
证明：∵BD＝BC，
∴点B在线段CD的垂直平分线上． 又∵∠ACB＝90°，DE⊥AB， ∴∠EDB＝∠ACB＝90°.
?BE＝BE，
在Rt△EBC与Rt△EBD中，?
?BC＝BD，
∴Rt△EBC≌Rt△EBD(HL)． ∴EC＝DE.
∴点E在线段CD的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线， ∴BE垂直平分CD.
【方法归纳】 证明某条直线垂直平分某条线段时，只要分别证明该直线上任意两点到该线段两端点的距离相等即可．
4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°.AB的垂直平分线DE交AB于点D，交BC于点E，则下列结论不正确的是(B)
A．AE＝BE B．AC＝BE C．CE＝DE D．∠CAE＝∠B
5．如图所示，已知AD是∠BAC的平分线，EF垂直平分AD，垂足是E，交BC的延长线于F，求证：∠B＝∠CAF.
证明：∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝∠DAC.
∵EF垂直平分AD， ∴AF＝DF. ∴∠DAF＝∠ADF.
∴∠DAF－∠DAC＝∠ADF－∠BAD. ∴∠B＝∠CAF.
重难点3 等腰三角形的性质与判定
【例3】 如图，在△ABC中，AB＝AC，AE是BC边上的高，BD是∠ABC的平分线，与AE相交于点D，求证：点D在∠ACB的平分线上．
【思路点拨】 连接CD，可证明△ABD≌△ACD，∴∠ABD＝∠ACD，由BD是∠ABC的平分线，即可证明其结论．
证明：连接CD.
∵AB＝AC，AE是BC边上的高， ∴∠BAE＝∠CAE.
?AB＝AC，
在△BAD和△CAD中，?∠BAE＝∠CAE，
?AD＝AD，
∴△BAD≌△CAD. ∴∠ABD＝∠ACD. ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB. ∵BD是∠ABC的平分线， 1
∴∠ABD＝∠ABC.
21
∴∠ACD＝∠ACB.
2
∴点D在∠ACB的平分线上．
【方法归纳】 等腰三角形“三线合一”的性质既涉及角相等，又涉及线段相等或垂直，为证明线段和角的关系增添了新的理论根据．
6．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂
2024年人教版数学八年级上册期末复习讲义(三)轴对称
