阶段强化练(四)
一、选择题
1．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反 C．|－λa|≥|a| 答案 B
解析 对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ<0时，a与λa的方向相反；B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小．
2．(2024·湖北黄冈中学、华师附中等八校联考)已知向量a＝(0,1)，b＝(2,1)，且(b＋λa)⊥a，则实数λ的值为( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1 答案 D
解析 已知向量a＝(0,1)，b＝(2,1)，b＋λa＝(2,1＋λ)，(b＋λa)⊥a，即(b＋λa)·a＝1＋λ＝0?λ＝－1. 故选D.
3．(2024·四省联考诊断)若向量a＝(1,2)，b＝(1，m)，且a－b与b的夹角为钝角，则实数m的取值范围是( ) A．(0,2) C．(－2,2) 答案 D
?a－b?·b2m－m2解析 a－b＝(0,2－m)，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得＝
|a－b||b||2－m|·1＋m2<0，即2m－m2<0，解得m<0或m>2.故选D.
4．(2024·成都七中诊断)已知向量a＝(4，－7)，b＝(3，－4)，则a－2b在b方向上的投影为( )
A．2 B．－2 C．－25 D．25 答案 B
解析 向量a＝(4，－7)，b＝(3，－4)， ∴a－2b＝(－2,1)，
∴(a－2b)·b＝(－2,1)·(3，－4)＝－10， |b|＝32＋?－4?2＝5，
∴向量a－2b在向量b方向上的投影为
B．(－∞ ,2)
D．(－∞，0)∪(2，＋∞) B．a与λ2a的方向相同 D．|－λa|≥|λ|·a
1
|a－2b|cos〈(a－2b)，b〉＝故选B.
?a－2b?·b10
＝－＝－2. |b|5
5.如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB，AC于不同的→→→→
两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为( )
A．1 C．3 答案 B
解析 ∵O为BC的中点， →1→→∴AO＝(AB＋AC)
2
1→→m→n→＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN， 222mn
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，
22∴m＋n＝2.
6．(2024·沈阳东北育才学校模拟)已知△ABC为等腰三角形，满足AB＝AC＝3，BC＝2，若→→→P为底边BC上的动点，则AP·(AB＋AC)( ) A．有最大值8 C．有最小值1 答案 D
→→→→解析 如图，设AD是等腰三角形底边BC上的高，长度为3－1＝2.故AP·(AB＋AC)＝(AD→→→→→→＋DP)·2AD＝2AD2＋2DP·AD＝2AD2＝2×(2)2＝4.故选D.
B．是定值2 D．是定值4 B．2 D．4
1
e1＋e2?≤|e1－λe2|7．(2024·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e1，e2对于任意实数λ，都有?2??成立，则向量e1，e2的夹角为( ) π2ππ5π
A. B. C. D. 6336
2
答案 B
解析 设单位向量e1，e2的夹角为θ，
1
e1＋e2?≤|e1－λe2|成立， ∵对于任意实数λ都有?2??1
e1＋e2?2≤|e1－λe2|2成立， ∴对于任意实数λ都有?2??12222
即e21＋e2＋|e1||e2|cos θ≤e1＋λe2－2λ|e1||e2|cos θ， 41
即1＋＋cos θ≤1＋λ2－2λcos θ ，
41?即λ2－2λcos θ－??4＋cos θ?≥0恒成立， 1
＋cos θ?≤0 ， ∴Δ＝4cos2θ＋4??4?1
cos θ＋?2≤0, 整理可得?2??
11
cos θ＋?2≥0，可得?cos θ＋?2＝0 ， 再由?2?2???12π故cos θ＝－，∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 23故选B.
→→
8．(2024·赣州十四县(市)期中联考)如图，正六边形ABCDEF中，AC·BD的值为18，则此正六边形的边长为( )
A．2 C．3 答案 D
解析 设正六边形的边长为a，由余弦定理得AC＝BD＝a2＋a2－2·a·a·cos 120°＝3a，由→→→→图得AC，BD的夹角为60°，所以AC·BD＝3a·3a·cos 60°＝18，∴a＝23.故选D. →→9．(2024·凉山诊断)设△ABC是边长为2的正三角形，E是BC的中点，F是AE的中点，则AB·(FB→
＋FC)的值为( )
A．3 B．23 C．4 D．33 答案 A
3
B．22 D．23
→→→→→→→→1→→1→2→→
解析 AB·(FB＋FC)＝AB·2FE＝AB·AE＝AB·(AB＋AC)＝(AB＋AB·AC)
22
π12
2＋2×2×cos ?＝3， ＝?3?2?故选A.
→→→→→10．(2024·安徽皖南八校联考)如图，在△ABC中，AD⊥AB，DC＝2BD，|AB|＝2，则AC·AB的值为( )
A．－4 C．－2 答案 D
→→→→→→→→→→→→解析 因为AD⊥AB，DC＝2BD，|AB|＝2，所以AC·AB＝(AB＋BC)·AB＝(AB＋3BD)·AB＝AB
2
B．－3 D．－8
→→→→→＋3BD·AB＝4－3|AB||BD|cos∠ABD＝4－3|AB|2＝－8，故选D.
→→11．(2024·晋江四校期中)点M是△ABC的边BC上任意一点，N在线段AM上，且AN＝xAB1→
＋yAC，若x＋y＝，则△NBC的面积与△ABC的面积的比值是( )
31121A. B. C. D. 2334答案 C
→→
解析 如图，设BM＝λBC(0<λ<1)，
→→
AM＝μAN(μ≥1)，
1→→1→1→→→
∴AN＝AM＝(AB＋BM)＝(AB＋λBC)
μμμ1→→→1－λ→λ→
＝(AB＋λAC－λAB)＝AB＋AC， μμμ
4
1→→→
∵AN＝xAB＋yAC，且x＋y＝，
3∴
1－λλ11
＋＝＝，则μ＝3. μμμ3
→→→3→∴AM＝3AN，则AM＝NM，
2
又∵△NBC与△ABC的底边BC相等，
→|NM|2
∴△NBC的面积与△ABC的面积的比值是＝. →3|AM|故选C.
→|AE|→→→
12．(2024·长沙长郡中学调研)已知△ABC中，2AB＋AC－5AD＝0，延长BD交AC于E，则→|AC|等于( )
1211A. B. C. D. 4323答案 D
解析 取特殊三角形，令A(0,0)，B(1,0)，C(0,1)， 21?y－0x－1
，，直线BD的方程为则有D?＝， ?55?12
－0－155111
化简得y＝－x＋，令x＝0，解得y＝，
3331→31|AE|10，?，所以E?＝＝?3?→13，故选D.
|AC|二、填空题
13．(2024·山师大附中模拟)单位向量a，b的夹角为60°，则|a－2b|＝__________. 答案
3
解析 因为|a－2b|2＝a2＋4b2－4a·b＝3， 所以|a－2b|＝3.
→2→1→→→14．△ABC中，AC＝4，BC＝3，∠ACB＝60°，E为边AC的中点，AD＝AB＋AC，则CD·BE
33的值为________． 答案 －4
解析 ∵AC＝4，BC＝3，∠ACB＝60°， 1→→
∴CB·CA＝3×4×＝6，
2
5
2024届高考步步高数学(理)一轮复习(京津鲁琼用解析版)第五章 阶段强化练(四)
