《三角形相似》
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三角形的相似是解决数学中图形问题的重要的工具，也是初中数学的重点内容，因此也是中考的重要考查内容。主要考查以下几方面的内容：1．会运用三角形相似的性质与判定进行有关的计算和推理。2．能运用三角形相似的知识解决相关的实际问题。3．能探索解决一些与三角形相似有关的综合性题型。 一、基础训练 1、（07宁德）若
a2a?b?，则? ． b3bB．60
o? 60o 75o 2、若如图所示的两个四边形相似，则??的度数是（ ）
A．87
o138o 60o
C．75
o
D．120
o第2题图
3、如果两个相似三角形的相似比为2：3, 那么这两个相似三角形周长比为________；对应角平分线的比为_______，对应高的比为__________，对应中线的比为__________，面积比为 。
4、（08海珠）若梯形的上底为3cm，下底为5㎝，则此梯形的中位线长为 ㎝. 5、（08越秀）如图，D是?ABC的重心，则下列结论正确的是（ ） A．2AD?DE B．AD?2DE C．3AD?2DE D．AD?3DE
6、如图，已知DE∥BC，EC=6cm，DE=5cm，AE=3cm，AB=14cm， 求AD、BC的长．?
二、例题分析：
例1、如图5所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE长为1.6米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，现在从捣头点E着地的位置开始，让踏脚(2007南京)如图,在梯形ABCD中，AD∥BC，
A D B 图5 E D ·
B （第5题图）
E
C
A ?ABC?60o，点E，F分别在线段AD，DC上（点AB?DC?AD?6，
E与点A，D不重合），且?BEF?120o，设AE?x，DF?y．
⑴ 求y与x的函数表达式；
⑵ 当x为何值时，y有最大值，最大值是多少？
着地，则捣头点E上升了 米．
例2、
三、巩固练习：（Ａ组）
Ａ Ｅ
Ｄ Ｆ
Ｂ
Ｃ
1．如图1，若DE∥BC，且AD=2cm，AB=4cm，AC=3cm，则AE=_______．
ADB
图1
A D
Ａ Ｅ C
Ｄ E EC
B
O
第2题
Ｂ
图3
Ｃ
Ｆ
A
D F 2、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，S△AOD:S△COB＝1:9，则OD:OB＝ 。
B C 图4 3．如图3，在平行四边形ABCD中，AF交DC于E，交BC的延长线于F，若
?DAE?20o，
?AED?90o，则?B?____度；若
厘米．
EC1?，AD?4厘米，则CF? AB3
4．如图4，在矩形ABCD中，E在AD上，EF?BE，交CD于F，连结BF，则图中与△ABE
一定相似的三角形是（ ） 北岸 A．△EFB B．△DEF C．△CFB D．△EFB和△DEF
5．如图5，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，
南岸 在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北
P 岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵
图5 树之间还有三棵树，则河宽为 米．
6、（07泉州）25．（8分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC， ?B??ACD． （1）请再写出图中另外一对相等的角； A D （2）若AC?6，BC?9，试求梯形ABCD的中位线的长度．
（B、C组）
7、如图5，△ABC内接于⊙O，D是弧AC的中点
2
求证：CD=DE·DB。
B （第6题图）
C 图5
C组
8、(2007长沙)如图，□ABCD中，AB?4，BC?3，∠BAD?120，E为BC上一动点（不与B重合），作EF?AB于F，FE，DC的延长线交于点G，设BE?x，△DEF的面积为S．
A （1）求证：△BEF∽△CEG；
（2）求用x表示S的函数表达式，并写出x的取值范围； （3）当E运动到何处时，S有最大值，最大值为多少？
9：如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2厘米/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1厘米/秒的速度移动。如果Ｐ、Ｑ同时出发，用t秒表示移动的时间（0≤ t ≤6），那么： （1）当t为何值时，三角形QAP为等腰三角形？
D（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论。
（变式：当点Ｐ、Ｑ运动时，四边形QAPC的面积是否改变？若不变，求出它的面积；若改变，请说明理由。） Q（3）当t为何值时，以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似。
AP
YoD
F B E
C G
CB
10、（陕西）王师傅有两块板材边角料，其中30cm，下底为一块是边长为60cm的正方形板子；另一块是上底为30cm，下底为120cm，高为60cm的直角梯形板子（如图①）．王师傅想将这两块板子裁成两块全等的矩形板材．他将两块板子叠放在一起，使梯形的两个直角顶点分别与正方形的两个顶点重合，?两块板子的重叠部分为五边形ABCFE围成的区域（如图②）．由于受材料纹理的限制，?要求裁出的矩形要以点B为一个顶点． （1）求FC的长；
（2）利用图②求出矩形顶点B所对的顶点到BC边的距离x（cm）为多少时，矩形的面积y（cm2）最大？最大面积是多少？
（3）若想使裁出的矩形为正方形，试求出面积最大的正方形的边长．
例2、【解题分析】⑴ 由?∠AEB?∠ABE?180o?120o?60o和 ?∠AEB?∠DEF?180o?120o?60o得?∠ABE?∠DEF．
从而可得?△ABE∽△DEF?y与x的函数表达式是y??12x?x 6解：（1）?ACB??CAD（或?BAC??ADC） ············································· 3分 （2）Q?B??ACD，又?ACB??CAD
······················································································ 5分 ?△ABC∽△DCA ·
ACBC2，即AC?BCgAD ··························· 6分 ?ADACQAC?6，BC?9，?62?9gAD， 解得AD?4 ······················································· 7分
4?9?梯形ABCD的中位线长为···························································· 8分 ?6.5 ·
2?9：分析：（1）当三角形QAP为等腰三角形时，由于∠A为直角，只能是AQ=AP，建立等
量关系，2t?6?t，即t?2时，三角形QAP为等腰三角形；
（2）四边形QAPC的面积=ABCD的面积—三角形QDC的面积—三角形PBC的面积
=12?6?11?12?x?(12?2x)?6=36，即当P、Q运动时，四边形QAPC的面积22不变。
（3）显然有两种情况：△PAQ∽△ABC，△QAP∽△ABC，
由相似关系得
2x122x6?或?，解之得x?3或x?1.2 6?x66?x1210、（1）由题意，得△DEF∽△CGF，
∴
DFDE60?FC30，∴FC=40（cm）． ?,??FCCGFC60（2）如图，设矩形顶点B所对顶点为P，则
①当顶点P在AE上时，x=60， y的最大值为60×30=1 800（cm2）．
②当顶点P在EF上时，过点P分别作PN⊥BG于点N，PM⊥AB于点M． 根据题意，得△GFC∽△GPN．
PNFC33?．∴NG=x，∴BN=120－x． NGCG2233 ∴y=x（120－x）=－（x－40）2+2 400．
22 ∴
∴当x=40时，y的最大值为2 400（cm2）．
③当顶点P在FC上时，y的最大值为60×40=2 400（cm2）． 综合①②③，得x=40cm时，
矩形的面积最大，最大面积为2 400cm2．
（3）根据题意，正方形的面积y（cm2）与边长x（cm）满足的函数表达式为：
中考数学三角形相似专题测试题及答案
