高中奥林匹克物理竞赛解题方法五极限法

高中奥林匹克物理竞赛解题方法五、极限法 高中奥林匹克物理竞赛解题方法五、极限法

方法简介

极限法是把某个物理量推向极端，即极大和极小或极左和极右，并依此做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极限法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确。因此要求解题者，不仅具有严谨的逻辑推理能力，而且具有丰富的想象能力，从而得到事半功倍的效果。

赛题精讲

例1：如图5—1所示， 一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立

弹簧上方h高度处，该小球从静止开始落向弹簧，设弹簧的劲度 系数为k，则物块可能获得的最大动能为 。

解析：球跟弹簧接触后，先做变加速运动，后做变减速运动，据此推理，

小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有

mg=kx ① 图5—1

由机械能守恒有 mg(h?x)?Ek?12kx ② 21m2g2联立①②式解得 Ek?mgh??

2k例2：如图5—2所示，倾角为?的斜面上方有一点O，在O点放一至

斜面的光滑直轨道，要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点

的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角?。

图5—2

解析：质点沿OP做匀加速直线运动，运动的时间t应该与?角有关，

求时间t对于?角的函数的极值即可。

由牛顿运动定律可知，质点沿光滑轨道下滑的加速度为 a?gcos?

该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t，则

12at?OP 21 / 16

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所以t?2OP ①

gcos?由图可知，在△OPC中有

OPOC ?sin(90???)sin(90?????)OCcos? ②

cos(???)所以OP?将②式代入①式得 t?2OCcos?4OCcos? ?gcos?cos(???)[cos??cos(??2?)]g显然，当cos(??2?)?1,即??所以当???2时，上式有最小值.

?2时，质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。

此题也可以用作图法求解。

例3：从底角为?的斜面顶端，以初速度?0水平抛出一小球，不计 空气阻力，若斜面足够长，如图5—3所示，则小球抛出后，

离开斜面的最大距离H为多少？

解析：当物体的速度方向与斜面平行时，物体离斜面最远。

以水平向右为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，

则由：vy?v0tan??gt，解得运动时间为t?2v0tan?该点的坐标为 x?v0t?g图5—3

v0tan? g212v0y?gt?tan2?

22g由几何关系得：H/cos??y?xtan?

2v0tan??sin?。 解得小球离开斜面的最大距离为 H?2g这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴，求解则更加简便。 例4：如图5—4所示，一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m

的墙外， 从喷口算起， 墙高为4.0m。 若不计空气阻力，取

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g?10m/s2，求所需的最小初速及对应的发射仰角。

解析：水流做斜上抛运动，以喷口O为原点建立如图所示的 图5—4

直角坐标，本题的任务就是水流能通过点A（d、h）的最小初速度和发射仰角。

?x?v0cos??t?根据平抛运动的规律，水流的运动方程为?12

y?v0sin??t?gt?2?把A点坐标（d、h）代入以上两式，消去t，得：

2v0??gd2/2cos2??(h?dtan?)?gd2/[dsin2??h(cos2??1)]?gd2/d2?h2[dd?h22?sin2??hd?h22

?cos2?]?h令 h/d?tan?,则d/d2?h2?cos?,h/d2?h2?sin?,上式可变为

2v0?gd2/d2?h2sin(2???)?h,显然,当sin(2???)?1,即2????90? 1h4??亦即发射角??45??45?arctan?45?arctan?71.6时,v0最小,22d3???且最小初速v0=

g(d2?h2?h)?310m/s?9.5m/s.

例5：如图5—5所示，一质量为m的人，从长为l、质量为

M的铁板的一端匀加速跑向另一端，并在另一端骤然停止。 铁板和水平面间摩擦因数为?，人和铁板间摩擦因数为

??，且??>>?。这样，人能使铁板朝其跑动方向移动

图5—5

的最大距离L是多少？

解析：人骤然停止奔跑后，其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量，此后，地面对

载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f，其加速度a1?f?(M?m)g???g。 M?mM?m

v?2由于铁板移动的距离L?,故v?越大，L越大。v?是人与铁板一起开始地运动

2a1的速度，因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。

人在铁板上奔跑但铁板没有移动时，人若达到最大加速度，则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦?(M?m)g，根据系统的牛顿第二定律得：

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