高中奥林匹克物理竞赛解题方法五、极限法 高中奥林匹克物理竞赛解题方法五、极限法
方法简介
极限法是把某个物理量推向极端,即极大和极小或极左和极右,并依此做出科学的推理分析,从而给出判断或导出一般结论。极限法在进行某些物理过程的分析时,具有独特作用,恰当应用极限法能提高解题效率,使问题化难为易,化繁为简,思路灵活,判断准确。因此要求解题者,不仅具有严谨的逻辑推理能力,而且具有丰富的想象能力,从而得到事半功倍的效果。
赛题精讲
例1:如图5—1所示, 一个质量为m的小球位于一质量可忽略的直立
弹簧上方h高度处,该小球从静止开始落向弹簧,设弹簧的劲度 系数为k,则物块可能获得的最大动能为 。
解析:球跟弹簧接触后,先做变加速运动,后做变减速运动,据此推理,
小球所受合力为零的位置速度、动能最大。所以速最大时有
mg=kx ① 图5—1
由机械能守恒有 mg(h?x)?Ek?12kx ② 21m2g2联立①②式解得 Ek?mgh??
2k例2:如图5—2所示,倾角为?的斜面上方有一点O,在O点放一至
斜面的光滑直轨道,要求一质点从O点沿直轨道到达斜面P点
的时间最短。求该直轨道与竖直方向的夹角?。
图5—2
解析:质点沿OP做匀加速直线运动,运动的时间t应该与?角有关,
求时间t对于?角的函数的极值即可。
由牛顿运动定律可知,质点沿光滑轨道下滑的加速度为 a?gcos?
该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为t,则
12at?OP 21 / 16
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所以t?2OP ①
gcos?由图可知,在△OPC中有
OPOC ?sin(90???)sin(90?????)OCcos? ②
cos(???)所以OP?将②式代入①式得 t?2OCcos?4OCcos? ?gcos?cos(???)[cos??cos(??2?)]g显然,当cos(??2?)?1,即??所以当???2时,上式有最小值.
?2时,质点沿直轨道滑到斜面所用的时间最短。
此题也可以用作图法求解。
例3:从底角为?的斜面顶端,以初速度?0水平抛出一小球,不计 空气阻力,若斜面足够长,如图5—3所示,则小球抛出后,
离开斜面的最大距离H为多少?
解析:当物体的速度方向与斜面平行时,物体离斜面最远。
以水平向右为x轴正方向,竖直向下为y轴正方向,
则由:vy?v0tan??gt,解得运动时间为t?2v0tan?该点的坐标为 x?v0t?g图5—3
v0tan? g212v0y?gt?tan2?
22g由几何关系得:H/cos??y?xtan?
2v0tan??sin?。 解得小球离开斜面的最大距离为 H?2g这道题若以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴,求解则更加简便。 例4:如图5—4所示,一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m
的墙外, 从喷口算起, 墙高为4.0m。 若不计空气阻力,取
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g?10m/s2,求所需的最小初速及对应的发射仰角。
解析:水流做斜上抛运动,以喷口O为原点建立如图所示的 图5—4
直角坐标,本题的任务就是水流能通过点A(d、h)的最小初速度和发射仰角。
?x?v0cos??t?根据平抛运动的规律,水流的运动方程为?12
y?v0sin??t?gt?2?把A点坐标(d、h)代入以上两式,消去t,得:
2v0??gd2/2cos2??(h?dtan?)?gd2/[dsin2??h(cos2??1)]?gd2/d2?h2[dd?h22?sin2??hd?h22
?cos2?]?h令 h/d?tan?,则d/d2?h2?cos?,h/d2?h2?sin?,上式可变为
2v0?gd2/d2?h2sin(2???)?h,显然,当sin(2???)?1,即2????90? 1h4??亦即发射角??45??45?arctan?45?arctan?71.6时,v0最小,22d3???且最小初速v0=
g(d2?h2?h)?310m/s?9.5m/s.
例5:如图5—5所示,一质量为m的人,从长为l、质量为
M的铁板的一端匀加速跑向另一端,并在另一端骤然停止。 铁板和水平面间摩擦因数为?,人和铁板间摩擦因数为
??,且??>>?。这样,人能使铁板朝其跑动方向移动
图5—5
的最大距离L是多少?
解析:人骤然停止奔跑后,其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量,此后,地面对
载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力f,其加速度a1?f?(M?m)g???g。 M?mM?m
v?2由于铁板移动的距离L?,故v?越大,L越大。v?是人与铁板一起开始地运动
2a1的速度,因此人应以不会引起铁板运动的最大加速度奔跑。
人在铁板上奔跑但铁板没有移动时,人若达到最大加速度,则地面与铁板之间的摩擦力达到最大静摩擦?(M?m)g,根据系统的牛顿第二定律得:
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