高等数学试卷（B卷）答案及评分标准
2004-2005年度第一学期
科目: 高等数学I 班级: 姓名: 学号: 成绩:
一、填空题（3??5?15?）
ln(x?2)1、f?x??的定义域是_
x?32、lim(x?0sin2x1?x?sin)? 2 xx3xe3 3、lim(1?)?x??x3lim(1?)x?e3 x??x1?4、如果函数f(x)?asinx?sin3x，在x?处有极值，则a?332
5、
??cos2?2 ?3x?(sinx?1)dx?432
二、单项选择题（3??5?15?）
1、当x?0时，下列变量中与x等价的无穷小量是（ ）
A . 1?cosx B . x?x2 C . ex?1 D . ln(1?x)sinx 2、设f(x)在x?a处可导, 则下列极限中等于f'(a)的是( A )。
f(a?h)?f(a?h)f(a)?f(a?h)A．lim B．lim
h?0h?0hhf(a?2h)?f(a?h)f(a?2h)?f(a)C．lim D． lim
h?0h?0h3h3、设在?a,b?上函数f(x)满足条件f??x??0,f??(x)?0则曲线y?f?x?在该区间上（ ） A. 上升且凹的 B. 上升且凸的 C. 下降且凹的 D. 下降且凸的 4、设函数f?x?具有连续的导数，则以下等式中错误的是（ ）
xd b???df(t)dt A. ? B. f(x)dx?f(x)???f(x)dx ?? a?? a????dx C. d??f(x)dx??f(x)dx
? ?? 0 D.
?f?(t)dt?f(t)?C
5、反常积分
xe?x2dx（ ）
A. 发散 B. 收敛于1 C. 收敛于1 D. 收敛于?1 22三、算题（6'?8?48'）
tanx?sinx1、求极限lim
x?0sin3x 2、求lim?x?2ln(sinx)2 (??2x)
??x?sint3、求曲线?在当t?处的切线方程和法线方程
4?y?cos2t
4、已知函数5、求积分
6、求积分
y?xsinx,x?0，计算dy
dxxe?dx
? e1e lnxdx
7、计算曲线y?sinx,0?x??与x轴围成的图形面积，并求该图形绕y轴所产生的旋转体体积。
8、计算星型线x?asin3t,y?acos3t,0?t?2?,a?0的全长.
四、求函数求y?x3?12x?10的单调区间、极值点、凹凸区间、拐点（7'）
f(x)在[0，1]上连续， 且0?f(x)五、设, 证明：方程x??f(t)dt?1在[0,1]上有且仅有一根（5'）
0 x
dx22tf(x?t)dt （5'） 六、设f (x)连续, 计算? 0dx
?et，t?0?2 x设f（t）??t??f(t)dt（5'） 七、 , 计算：F（x） ??，t?0?6?1?t
答案：
一、填空题
3xlim(1?)?1、（2，3）∪（3，+∞） 2、2 3、 x??x? 42cos3x?(sinx?1)dx?4、2 5、???32二、
1、D 2、A 3、B 4、A 5、C
三、计算题
1?cosx1tanx?sinx1、解：lim== limx?0x?0sin2xsin3x2 2’ 4’
e3
1cosxcosxln(sinx)1sinxlimlim2、解：lim=== ??4(??2x)??4(??2x)?(??2x)28x?x?x?2223、解: 当t??4曲线过点(2dy,0), 由于2dx?4??22, 4’
2) 1’ 2所以, 当t??4处的切线方程和法线方程分别为:y??22(x?22(x?) 1’ 42dyd(esinxlnx)sinxsinx4、解:??esinxlnx(cosxlnx?)?xsinx(cosxlnx?)
dxdxxx y?解: 令u?x,dx?2udu, 则: 1’ 解: 令u?x,dx?2udu, 则: 1’ 5、令u?x,dx?2udu, =
xe?dx
xuuuu2uedu?2ue?2edu?2(u?1)e?c?2(x?1)e???c
e6、解:
? e1 ee2elnxdx=?11?lnxdx??elnxdx?[?xlnx]11??11dx?[xlnx]1??dx?2?
11eee7、解:面积s??sinxdx?2 2’
0? 体积微分元dV?2?xsinxdx 1’
所求体积V??2?xsinxdx?[?2?xcosx]0??2?cosxdx?4?2 3’
00???3asin2tdt 2’ 2?2?3asin2tdt?6a?2sin2tdt?6a 4’ 弧长s??0022y'?3x?12,令y'?0,得驻点x1??2,x2?2 四、解:1’
8、解: 弧微分ds?y''?6x,令y''?0,得点x3?0
由上可知:函数的单调增区间为: (-∞,-2),(2,+∞); 函数的单调减区间为:(-2,2) 2’ 函数的极大值点:(-2,26),极小值点(2,-6) 1’
凹区间为:(0,+∞),凸区间为:(-∞,0) 1’ 拐点为:(0,10)
五、证: 构造函数?(x)?x??f(t)dt?1, 函数在[0,1]上连续,在区间内可导 1’
0 x?(0)??1,?(1)??f(x)dx?0,
01由连续函数的零点定理知,存在ξ在(0,1)内使?(?)?0 2’ 又因为?'(x)?1?f(x)?0所以函数在(0,1)的零点唯一. 2’ 原命题得证.
六、解: 令:u?x2?t2, du??2tdt 2’
dxd10222tf(x?t)dt[?f(u)du]?xf(x) =2?? 0 xdxdx2七、解:当x?0时，F(x)??etdt?ex 2’
??xx??0??x0当x?0时，F(x)??
f(t)dt??edt??tt21dt?1?arctanx3 631?t《高等数学IV1》课程考试试卷
（A卷）
学院 专业 班级
学号 姓名
题 阅卷 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 号 教师 得 分 ……………………………………………………………………………………………………………… 得 分 一、选择题（每小题3 分，共12分）
(n)21、设f(x)?3x?xx,使f(0)存在的最高阶数n为（ ）
(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3
2、函数y?? x2 0 (t?1)etdt有极大值点（ ）
（A） x?1 （B） x??1 （C） x??1 （D） x?0 3、已知函数f(x)的一个原函数是sin2x，则xf'(x)dx?（ ）
? (A) 2xcos2x?sin2x?C (B) 2xsin2x?cos2x?C (C) 2xsin2x?cos2x?C (D) xsin2x?cos2x?C
14、x?2是函数f(x)?arctan的 （ ）
2?x（A）连续点 （B）可去间断点 （C）第一类不可去间断点 （D）第二类间断点 得 分 2、曲线
二、填空题（每小题3 分，共12分）
1、函数y?xe?x的图形的拐点是 。
y?1?ex0?x2的渐进线是 。
h?03、设
f(x)??edt，则 limf(x?h)?f(x?h)? 。
?t2h4、lim(1?x)x?02x? 。
2得 分
三、求下列极限（每小题6分，共12分）。
1?cos(ex?1)1、lim。 x?0tan3x?sinx?11???2、lim?。 ?x?0?ln?1?x?x?? 四、计算下列微分或导数（每小题6分，共18分）。 得 分 1、y?xarctanx?ln1?x2，求dy。
2、若y?(sinx)cosx,求
dy。 dxdy?x?Rcost3、设? ，求2。 dx?y?Rsint
2
高等数学上学期期末考试试卷与答案四份
