095.人教A版选修1-1教案：3.2函数的极值与导数(含答案)

§1．3．2函数的极值与导数（1课时）

【学情分析】：

在高一就学习了函数的最大（小）值，这与本小节所要研究的对象——函数极值有着本质区别的，学生容易产生混淆，易把极大值当做最大值，极小值当做最小值。在认识理解导数大小与函数单调性的关系后，结合函数图像直观地引入函数极值的概念，强化极值是描述函数局部特征的概念，使得学生对极值与最值的概念区分开来，也为下节“函数的最值与导数”做好铺垫。

【教学目标】：

（1）理解极大值、极小值的概念.

（2）能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. （3）掌握求可导函数的极值的步骤

【教学重点】：

极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

【教学难点】：

极大、极小值概念的理解，熟悉求可导函数的极值的步骤

【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图 利用教材在 §3.3.1中的 例1引入函数的极值概念 考虑到极值与最值①观察y=f(x)的图像在x=1点的函数值f(1)与x=1附近的其容易混淆，学生对已他点的函数值的特征，并描述在x=1点及其附近导数的正有知识的同化易接负： 受，我们以§3.3.1 f(1)在x=1点及其附近是最小——f'(1)?0； 中的例1引出极值的概念，具体直观，y=f(x)在x=1附近的左侧是单减的——f'(x)?0； 同时对极值与最值区分是一目了然的。 y=f(x)在x=1附近的右侧是单增的——f'(x)?0； 提问：y=f(x)在x=1处是否整个函数的最小值？ 不是，只是y=f(x)在x=1处附近的局部最小值 ②观察y=f(x)的图像在x=4点的函数值f(4)与x=4附近的其他点的函数值的特征，并描述在x=4点及其附近导数的正负： 学生模仿完成 y=f(x)在定义域上可导， ①若f'(a)?0，且y=f(x)在x=a附近的左侧满足由具体函数图像抽象上升到一般极值概念 概念抽象 f'(x)?0；在x=a附近的右侧满足f'(x)?0，则称点a叫做y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值

②若f'(b)?0，且y=f(x)在x=b附近的左侧满足f'(x)?0；在x=b附近的右侧满足f'(x)?0，则称点b叫做y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值 概念判断练习： （１）函数的极大值是函数在定义域上的最大值 （２）函数在某个区间或定义域上的极大值是唯一的 （３）函数某区间上的极大值一定大于极小值 （４）函数的极值点，导数一定为零 （５）导数为零的点一定是函数的极值点 答案：（1）错（2）错（3）错（4）对（5）错 （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义可知极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，x1是极大值点，x4极值概念理解的总结提高 是极小值点，而f(x4)>f(x1)，如下图 yf(x5)函数极值概念强化练习 深化学生对函数极值的概念，以及函数取极值与f'(a)?0的逻辑关系 f(x3)f(x1)f(x4)ax1x2Of(b)f(x2)f(a)x3x4x5bx 填空： （１） 若x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数________，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值， （２）如果f?(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的_______点，f(x0)是_______； （３）如果f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的_______点，f(x0)是_______.

如何判别f(x0)是极大、极小值 让学生总结判断极值的方法。 （１）异号；（２）极大值；极大值； （３）极小值；极小值 １、看图识极值（点） yf(x5)f(x3)f(x1)f(x4) x3x4x5bxax1x2Of(b)f(x2)f(a) 说出极值点与相应的极值 ２、求函数的极值（点） 对教材例1的处理方式： 要求阅读教材解析，模仿练习。以眼动、心动、手动的方式让学生对求解函数的极值的步骤有较深的印象。 函数极值（点）计算要加强练习，提高熟练程度。 作为平行班的学生基础不牢，应以最基本的几类函数求导练习为主，切忌本末倒置：让学生把重心放在导数计算上，而忽视了求极值（点）的方法步骤 加强对极值 （点）的函数图像理设置上可以先让学生回忆几类基本函数的求导公式，板书解与认识 在黑板上以学生查用之需。 补充练习： 求函数ｙ=2x2+5x的极值 答案：x=-5/4;y=-25/8极小值 求函数y=3x－x3的极值 答案：x=-1,y=-2极小值； X=1,y=2极大值 加强熟练程度与运算速度 通过例题与练习加深对极大、极小值概念的理解，以及熟悉求函数极值的方法与步骤 例题精讲 要注意结合图象理解极大、极小值概念 判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 方法小结 求函数极值的方法与步骤： (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值

课后练习

1、函数y?f(x)在一点的导数值为0是函数y?f(x)在这点取极值的（ ）

A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 必要非充分条件

答案 D 对于f(x)?x,f(x)?3x,f(0)?0,不能推出f(x)在x?0取极值，反之成立

2、函数y3'2'x33x29x2x2有（ ）

A 极大值5，极小值?27 B 极大值5，极小值?11

C 极大值5，无极小值 D 极小值?27，无极大值

答案C y?3x?6x?9?0,x??1,得x?3，当x??1时，y?0；当x??1时，y?0 当x??1时，y极大值?5；x取不到3，无极小值

3、函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f?(x)在(a,b)内的图象如图所示， 则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点（ ） A 1个 B 2个 C 3个 D 4个

答案A 极小值点应有先减后增的特点，即

4、函数f(x)?x?ax?3x?9，已知f(x)在x??3时取得极值，则a=( ) A, 2 B. 3 答案： 5、若函数fx'32'2''f'(x)?0?f'(x)?0? C. 4

2 D. 5

xxc在x?2处有极大值，则常数c的值为_________；

22'2答案6 f(x)?3x?4cx?c,f(2)?c?8c?12?0,c?2,或6，c?2时取极小值

6、函数f(x)?mcosx?答案

0

321?sin2x在x?处取得极值，则m=__________

427、已知函数y?ax?bx，当x?1时，有极大值3； （１） 求a,b的值；（2）求函数y的极小值

''2解：（1）y?3ax?2bx,当x?1时，y|x?1?3a?2b?0,y|x?1?a?b?3，

即??3a?2b?0,a??6,b?9

?a?b?332'2'（2）y??6x?9x,y??18x?18x，令y?0，得x?0,或x?1

?y极小值?y|x?0?0

〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念

（1）函数的概念

①设的数记作

A、B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合

A中任何一个数x，在集合B中都有唯一确定

）叫做集合

f(x)和它对应，那么这样的对应（包括集合A，B以及A到B的对应法则fA到B的一个函数，

f:A?B．

②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．

③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法

①设a,b是两个实数，且a?b，满足a?x?b的实数x的集合叫做闭区间，记做[a,b]；满足a?x?b的实数

x的集合叫做开区间，记做(a,b)；满足a?x?b，或a?x?b的实数x的集合叫做半开半闭区间，分别记做

[a,b)，(a,b]；满足x?a,x?a,x?b,x?b的实数x的集合分别记做[a,??),(a,??),(??,b],(??,b)．注意：对于集合{x|a?

x?b}与区间(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必须