专题强化练 函数极值的求解及其应用
一、选择题
1.已知x=1是f(x)=[x2-(a+3)x+2a+3]ex的极小值点,则实数a的取值范围是( ) A.(1,+∞) B.(-1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-∞,1)
2.若函数f(x)=x2-aln x(a∈R)不存在极值点,则a的取值范围是( ) A.(-∞,0) B.(0,+∞) C.[0,+∞) D.(-∞,0] 3.函数f(x)=ln x2-x的图象大致为( )
4.已知函数f(x)=ax-x2-ln x存在极值,若这些极值的和大于5+ln 2,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,4) B.(4,+∞) C.(-∞,2) D.(2,+∞)
5.若函数f(x)=x2+(a-1)x-aln x存在唯一的极值,且此极值不小于1,则
21
实数a的取值范围为( ) A.[,2) B.[,+∞)
2
2
3
3
C.[0,) D.(-1,0)∪[,+∞)
22
6.(多选)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f'(x),如图是函数y=xf'(x)的图象,则下列说法正确的是( )
33
A.函数f(x)的单调增区间是(-2,0),(2,+∞) B.函数f(x)的单调增区间是(-∞,-2),(2,+∞) C.x=-2是函数f(x)的极小值点 D.x=2是函数f(x)的极小值点
7.(多选)已知函数y=f(x)在R上可导,且f(0)=1,其导函数f'(x)满足
??'(x)-f(x)??-1
>0,对于函数g(x)=
??(??)e??,下列说法正确的是 ( )
A.函数g(x)在(1,+∞)上为单调递增函数 B.x=1是函数g(x)的极小值点 C.函数g(x)至多有两个零点 D.当x≤0时,不等式f(x)≤ex恒成立 二、填空题 8.若函数f(x)=
??2+a??+1
在x=1处取得极值,则a= .
9.已知函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点,则实数a的取值范围是 . 三、解答题
10.已知函数f(x)=mx+n√??的图象在x=处的切线方程为y=-.
4
4
1
1
(1)求f(x)的解析式;
(2)若关于x的方程f(x)=aln x在x∈(1,+∞)上有解,求a的取值范围.
11.已知函数f(x)=ln x+mx2+1,m∈R. (1)当m=-2时,求函数f(x)的单调区间和极值; (2)讨论函数f(x)的零点个数.
答案全解全析
一、选择题
1.D 依题意得, f'(x)=(x-a)(x-1)ex,它的两个零点为x1=1,x2=a,要使x=1是函数f(x)的极小值点,则必须有a<1,此时函数在(a,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,在x=1处取得极小值.故选D. 2.D 由题意得, f(x)的定义域是(0,+∞), f'(x)=2x-=????2??2-a
??
,
若f(x)在(0,+∞)上不存在极值点,则a≤2x2在(0,+∞)上恒成立,故a≤0. 3.B 函数f(x)的定义域为{x∈R|x≠0}. 当x>0时, f(x)=2ln x-x, ∴f'(x)=-1=
??2
2?????
.
当x>2时, f'(x)<0,当0
∴f(x)在(0,2)上单调递增,在(2,+∞)上单调递减,且f(x)在(0,+∞)上的极大值为f(2)=2ln 2-2<0,∴C、D错误. 当x<0时, f(x)=2ln(-x)-x, f'(x)=错误,B正确.故选B.
解题模板 由函数解析式确定函数图象时,往往由解析式确定性质,由性质逐一判断图象.解题时,通过求导得到极值点,从而得到函数的图象.
4.B ∵f(x)=ax-x2-ln x(x>0), ∴f'(x)=-2??2-ax+1
??
2?????
<0,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数,∴A
.
∵f(x)存在极值,
∴f'(x)=0在(0,+∞)上有实根, 即2x2-ax+1=0在(0,+∞)上有实根, 即a=2x+在(0,+∞)上有实根.
??1
由2x+≥2√2??·=2√2,得a>2√2①
????(a=2√2时无极值).
此时, f'(x)=0有两不相等的正实根,设为x1,x2,则x1+x2=,x1x2=,
2
2
??
1
11
∴f(x1), f(x2)是f(x)的两个极值,依题意得
??2??21??222
f(x1)+f(x2)=a(x1+x2)-(??1+??2)-(ln x1+ln x2)=-(-1)-ln=+1+ln
2424
2>5+ln 2.
化简得a2>16,又a>2√2,∴a>4. ∴a的取值范围是(4,+∞),故选B.
解题模板 与函数的极值有关的问题,在解题时常用“整体代入”的方法,如本题中用根与系数关系整体代入,有时还将f'(x0)=0整体代入f(x0),解决相关极值问题.
5.B ∵f(x)=x2+(a-1)x-aln x,x>0,
21
∴f'(x)=x+(a-1)-=??
????2+(a-1)x-a(??+??)(??-1)
??
=??
.令f'(x)=0,得x=1或x=-a,
∵函数y=f(x)存在唯一的极值, ∴x=1为f(x)的极值点,此时a≥0,
∴当x∈(0,1)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减,当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增, ∴f(x)极小值=f(1)=+a-1=a-,
2
2
1
1
又f(x)极小值≥1,
∴a-≥1,解得a≥.故选B.
2
2
13
6.BD 由题图可知,当0
所以函数f(x)在(-∞,-2)和(2,+∞)上单调递增,在(-2,2)上单调递减, 所以函数f(x)在x=2处取得极小值,在x=-2处取得极大值.故选BD. 7.ABC 因为g(x)=所以g'(x)=
??'(x)-f(x)
e????(??)e??,
,
当x>1时, f'(x)-f(x)>0,故y=g(x)在区间(1,+∞)上单调递增,故A正确. 当x<1时, f'(x)-f(x)<0,故y=g(x)在区间(-∞,1)上单调递减,故x=1是函数y=g(x)的极小值点,故B正确.
若g(1)<0,则y=g(x)至多有2个零点,若g(1)=0,则函数y=g(x)有1个零点,若g(1)>0,则函数y=g(x)没有零点,故C正确. 由y=g(x)在区间(-∞,1)上单调递减, 且g(0)=
??(0)e0
=1,得当x≤0时,g(x)≥g(0),即
??(??)e??
≥1,故f(x)≥ex,故D错误.
故选ABC. 二、填空题 8.答案 3
解析 由题意得, f'(x)=(
??2+a??+1
)'=
2??(??+1)?(??2+a)??2+2x-a
(??+1)2
=(??+1)2
.
∵函数f(x)在x=1处取得极值, ∴f'(1)=0,
∴1+2×1-a=0,∴a=3.经验证知a=3符合题意. 9.答案 (-28,4)
解析 f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3). 令f'(x)>0,得x<-1或x>3; 令f'(x)<0,得-1 所以f(x)在(-∞,-1),(3,+∞)上单调递增;在(-1,3)上单调递减. 所以当x=-1时, f(x)取得极大值,为f(-1)=4,当x=3时, f(x)取得极小值,为f(3)=-28. 因为函数f(x)=x3-3x2-9x-1的图象与函数g(x)=a的图象有三个交点, 所以-28 10.解析 (1)由题意得, f()=m+n=-,① 4424因为f'(x)=m+1 ??2√??1 1 1 1 , 所以f'()=m+n=0,② 4 由①②得m=1,n=-1,所以f(x)=x-√??. (2)令F(x)=f(x)-aln x, 则F'(x)=1-??2??-√??-2a . 2√????2??1-= 令g(x)=2x-√??,则g(x)在(1,+∞)上单调递增,故g(x)>g(1)=1. 当2a≤1,即a≤时,F'(x)>0, 21 所以F(x)单调递增, 又F(1)=0,所以F(x)>0. 当2a>1,即a>时,存在x0∈(1,+∞),使得F'(x0)=0, 21 所以函数F(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增, 又F(1)=0,所以F(x0)<0. 当x→+∞时,F(x)→+∞,所以F(x)=0在(1,+∞)上有解. 综上,a的取值范围为(,+∞). 21 解题模板 解决含参函数的相关问题时,要注意寻找特殊值,利用特殊值解决问题,如本题中的特殊值为F(1)=0,结合单调性可顺利解决本题. 11.解析 由题得,函数f(x)的定义域为(0,+∞). (1)当m=-2时, f(x)=ln x-2x2+1, 所以f'(x)=-4x=??11 (1-2??)(1+2??) ?? , 当x∈(0,)时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增; 2当x∈(,+∞)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 21 所以函数f(x)的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞). 22所以当x=时, f(x)有极大值, 21 12 11 且极大值为f()=ln-2×(2)+1=2-ln 2,无极小值. 22(2)由f(x)=ln x+mx2+1, 得f'(x)=+2mx=??1 1+2????2 ?? 111 (x>0). 当m≥0时, f'(x)>0恒成立,函数f(x)单调递增, 当0 12?? 12?? . )时, f'(x)>0,函数f(x)单调递增; ,+∞)时, f'(x)<0,函数f(x)单调递减, 所以f(x)的极大值为 f(√- )=ln(√-2??)+m×(√-2??)+1=2ln(-2??)+2, 2?? 1 1 1 111 2 111 ①当ln(-)+<0, 22??2即ln(-)<-1=lne时, 2?? e21 1 解得m<-,此时函数f(x)没有零点. ②当ln(-)+=0, 22??2 即m=-时,函数f(x)有1个零点. 2e1 1 1 ③当ln(-)+>0,即- ??1 111e 所以g(x) ?? 故当x>1且x>-时, f(x)<0. ??1 1 当- e12?? <-, ?? 1 所以函数f(x)有2个零点. 综上所述,当m<-时,函数f(x)没有零点;当m≥0或m=-时.函数f(x) 2 2 e e 有1个零点;当- 2 e
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