第十二讲全等三角形
趣题引路】
如图12-1所示，BD=CE,只添加一个条件，就可证得ZABE=ZACD,有哪几种方法？这是一道由 果索因的开放性问题，从图中看出ZABE既是△ABE的内角又是AODB的内角，同时ZACD也是△ ACD. △ OEC的内角，而
AACD与mBE, ZkODB与△OEC分别有一对角相等，故可以考虑它们分别全等.
方法 1：添加 AD=AE （或 AB=AC）,可得
A
方法 2：可添加ZBDO=ZCEO,可得△ BDO^ACEO 方法3：可添加BE=CD,再连结BC,可得△ BDC^ACEB
/\\
:.ZDBC=ZECB, ZEBC= ZDCB :.ZABE= ZACD
本讲研究全等三角形在竞赛解题中的一些应用.
知识拓展】
证明三角形全等是研究平而图形性质的重要工具之一.利用它可以证明线段相等、角相等及研究两条 直线的垂直和平行关系.
三角形全等问题可分为三个层次：
1. 直接利用全等三角形的判立定理和性质泄理，需要我们敏捷、快速地发现两条线段或两个角所分布 的两
个三角形及全等的条件：
2. 当证明相等的两条线段或两个角所在的三角形全等的条件不充分时，需根据图形的其他性质，先证 明别
的两个三角形全等以补足条件：
3. 当现有图形的任何两个三角形之间不存在全等关系，需要添豊辅助线，构造全等三角形来研究平面 图
形的性质.
我们实际遇到的图形中，两个全等三角形并不重合在一起，而是处于各种不同的位置，但英中一个是 由另一个经过平移、翻折、旋转等变换而成的，了解全等变换的这几种形式，有助于发现全等三角形、确 泄对应元素?善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键，应熟悉涉及有关公 共边、公共角的以下两类基本图形：
()
例 1 （2003 年河北竞赛题）如图 12-3, AC=BC. AC丄BC 于点 C, AB=AD=BD, CD=CE=DE,
/f AB= f BE= ________ .
D
解析 在/\\ADC 与△BDC 中，由 AD=DB, DC=DC, AC=BC,可知
AADC^ABDC, ZADC= ZBDC.
又因为ZADB=6Q ,
所以，ZADC= ZBDC= ZEDB=3Q ? 故 DB 丄 CE, BC=BE?
而△ACB为等腰直角三角形，且AB=迈,所以，BC=BE=\\ 点评：充分利用ADCE是等边三角形这个条件是解题关键
aa例2如图12-4,设△ABC是等腰三角形，D、E分别是腰AB及AC延长线上的一点，且BD=CE, 连DE交
BC于G点?求证：DG=EG?
解析思路一：构造一个与ACEG全等的三角形； 思路二：构造一个与△DBG全等的三角形. 证明：作 DF〃AC 交 BC 于 F,则 ZACB=ZDFB, 又因
故ZB=ZACB,因此ZB=ZDFB,故 DB=DF=CE,
而又有ZFDG=ZCEG, ZDGF= ZEGC,故厶DFG竺HECG
故DG=EG?
点评：构造全等三角形时须根据图形的特征，通常有“截长法”、“补短法”、“中线加倍法”等.
例3 （2000年江苏省竞赛题）如图12-5, AD是/XABC的中线，E、F分别在AB、AC上且DE丄DF, 则（
）
A. BE+CF>EF C. BE+CFCEF
B. BE+CF=EF
D. EF与BE+CF大小关系无法确定
解析 此题让人联想到三角形三边关系，设法把BE、CF、EF放到一个三角形中去考虑，可将△￡\ 沿直线 DF “翻折”到△ GFD,连结 CG,易证△ EFD^AGFD. HBED竺CGD、EF=FG, BE=GC、
故 BE+CF>EF? 选A.
点评：本题也可把△GCD看作由△EBD绕D点旋转180。而得到，同时还可以将△EFD沿直线ED “翻折”求解.
例4 (2003年全国竞赛题)如图12-6,在AABC中，D为AB的中点?分别延长C4、CB到点E\\ F, 使
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七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第十二讲全等三角形(含答案)
