3.3.3《点到直线的距离》教学设计
一、设计思想
依据现代几何教育理念，本课的设计思路：直观感知（图片欣赏）→操作确认（学生作图）→推理论证（三种方法推导公式）→度量计算（例题练习）。两个原则：（1）树立发展学生为本的思想，通过构建以学习者为中心，有利于学生主体精神，创新能力健康发展的宽松的教学环境，提供学生自主探索的机会，亲身参与公式的的探究过程；（2）坚持协同创新原则，把教材创新、教法创新及学法创新有机地统一起来。
首先是教材创新，新课标下的教材执行赋予教师更大的创新空间。通过创设问题情景自然引入课题，降低教材难度。主要由学生去探究，去发现，去讨论，去归纳总结得到公式，再辅以适当的例题、习题帮助学生熟悉公式，学会运用
其次是教法创新。采用多种教学方法的有机结合，既有启发式、类比发现式的教学方法，又有探究式及情感教学法。
最后是学法创新。在整个学习过程中，在问题的引导下，让学生保持强烈的好奇心和求知欲，通过观察、分析、归纳来获取知识，有意识地创造学生感兴趣的氛围，使学生全身心地投入到学习中去，成为学习的主人。 二、教材分析
本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了高中解析几何的定量计算，其学习平台是学生已掌握了直线倾斜角、斜率、直线方程和两条直线的位置关系等相关知识．对本节的研究，为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的进一步学习，奠定了基础，具有承上启下的重要作用．在解决实际生活问题中以及代数、解析几何、立体几何中都有着重要而广泛的应用。而更为重要的是：通过认真设计这一节教学，能使学生在探索过程中深刻地领悟到蕴涵于公式推导中的重要的数学思想和方法，学会利用化归思想和分类方法，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。 三、学情分析
（1）知识能力状况，本节为两线位置关系的最后一个内容，在这之前学生已经系统的学习了直线方程的各种形式，有对两线位置关系的定性认识和对两线相交的定量认识，为本节推证公式涉及到直线方程、两线垂直、两线交点作好了知识储备。同时学生对解析几何的实质中，用坐标系沟通直线与方程的研究办法，有了初步认识，数形结合的思想正逐渐趋于成熟。基础知识比较扎实、思维较活跃，但处理抽象问题的能力还有待进一步提高．
（2）心理特点：又见“点到直线的距离”（初中已学习定义），学生既熟悉又陌生，既 困惑又好奇，探询动机由此而生。
（3）生活经验：数学源于生活，生活中的点线距随处可见，怎样将实际问题数学化， 是每个追求成长、追求发展的学生所渴求的一种研究能力。丰富的课堂数学活动能够让他们真正参与，体验过程，锤炼意志，培养能力。 四、教学目标 知识技能：
⑴ 理解点到直线的距离公式的推导过程；
⑵ 掌握点到直线的距离公式；
⑶ 掌握点到直线的距离公式的应用． 过程与方法：
⑴ 通过探索点到直线的距离公式的推导过程，渗透算法的思想；
⑵ 通过自学教材上利用直角三角形面积公式的推导过程，培养学生的数学阅读能力；⑶ 通过灵活运用公式的过程，提高学生类比化归、数形结合的能力．
（4）让学生体会由特殊到一般、从具体到抽象的数学研究方法，并使学生在经历反馈练习的过程中，进一步提高灵活运用公式，解决问题的能力． 情感态度：
培养学生勇于探索、善于研究的精神，挖掘其非智力因素资源，培养其良好的数学学习品质。
五、重点难点
重点：点到直线的距离公式
难点：点到直线的距离公式的推导
关键：实现两个转化。一是将点线距离转化为定点到垂足的距离；二是利用等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距离。 六、教学策略与手段
1、根据教学内容和学生的学习状况、认知特点，本课采用类比发现式教学模式．从学生熟知的实际生活背景出发，通过由特殊到一般、从具体到抽象的课堂教学方式，引导学生探索点到直线的距离的求法．让学生在合作交流、共同探讨的氛围中，认识公式的推导过程及知识的运用，进一步提高学生几何问题代数化的数学能力．
2、采用投影、计算机等教学手段，增大教学的容量和直观性，有效提高教学效率和教学质量。
3、以反馈调控为手段，力求反馈的全面性（优、中、差生）与时效性（及时、中肯）。 七、课前准备：学生先预习本课知识点。教师制作课件，搜集素材。 八、教学过程 １ 创设情境
用课件播放学生熟知的地质勘探、铁轨宽度、人离高压电线的安全距离等生活图片的欣赏。以及一个具体实例：某供电局计划年底解决本地区最后一个村庄的用电问题，经过测量，若按部门内部设计的坐标图（即以供电局为直角坐标原点，正东方向为x轴的正半轴，正北方向为y轴的正半轴，长度单位为千米），得知这个村庄的坐标是（15，20），离它最近的只有一条直线线路通过，其方程为：3x – 4y – 10 = 0, 问要完成任务，至少需要多长的电线？
（设计意图：以学生熟悉的实际生活为教学背景，引入新课，还原学生的数学现实，诱发动机，乐于参与。实例既可点燃数形结合的思想，又可唤醒两点间距离公式。）
那么“应该如何求点到直线的距离呢？”带着这个问题，教学进入环节2． ２ 点到直线的距离公式的推导过程
首先，由学生回答，初中有关“点到直线的距离”的定义：过点P作直线l的垂线，垂足为Q点，线段PQ的长度叫做点P到直线l的距离．
（设计意图：引导学生复习旧知，为新课的学习打下基础根据认识发展理论，学生认知结构的发展是在其认识的过程中伴随同化和顺应的认知结构不断再建构的过程，达到以旧悟新的目的。(1)(2)两问的解决为后继知识作好了铺垫．）
接着，师生共同探讨如何求点到直线的距离．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导过程含有字母运算，比较抽象．为帮助学生更好地理解，可以补充两个由浅入深的具体问题，为后面推广到一般情况作好铺垫．
问题1 多媒体，出示材料练习： “尝试性题组”A到l的距离为d (1) A(2，0)，l：x = 3， d=_____
(2) A(2，0)，l：y = 3，d=_____ (3) A(2，0)，l：x – y = 0，d=____
对于（3）题，由于点和直线的位置非常特殊，学生容易回答，应该鼓励学生利用多种解法解决本问．让学生来说解题方法。
方法① 利用定义方法；② 利用直角三角形的面积公式方法；③ 利用三角函数。
（设计意图：尝试性题组告诉学生下手不难，还负责特例检验，从而增强学生参与的信心。说解题思路，一是让学生清晰有条理的表达自己的思考过程，二是其求解过程提示了证明的途径）
对于问题1，学生可能提供的解法不完全，我要引导学生补充完整．改变点P和直线l的位置，引出补充问题2．
问题2 如何求点A(2，4)，到直线l：x – y =2的距离？
组织学生类比问题1，独立思考本问的解决方法．在课堂上只要求学生说明解法思路，而不要求解题过程．
（设计意图：为了推导点到直线的距离公式，学生会面临比较抽象的字母运算．通过补充两个由浅入深的具体问题，使学生能够类比思考，解决当点和直线处在一般位置时，点到直线的距离的求法．）
在解决问题1、2的基础上，将点和直线的位置推广到一般情况，进一步提出问题3．
22问题3 如何求点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0（A?B?0）的距离？
（设计意图：使学生的认知由特殊向一般转化，发现可能的方法，让学生体验数学活动充满着探索和创造，感受数学的生机和乐趣。）
师生一起进行比较，寻找方案进行推证。 （设计意图：“师生共作”体现新型师生观） 由学生推证点到直线的距离公式
（设计意图：培养学生严谨，周密的逻辑推理能力，得到一般性结论，形成完整的数学模型，感受数学的严谨性和数学结论的确定性，形成科学的态度。在推证的过程中，通过克服困难的经历，以及获得成功的体验，锻炼意志，增强信心。）
结束后让学生看书了解利用定义的推导方法。 然后再启发学生利用平面向量的推导方法
uuuur 设点M?x,y?是直线l上任意一点得PM??x?x,y?y? 00
r求与l垂直的向量n??A,B? uuuurruuuurruuuurr设PM与n的夹角为?得PM?n?PMncos? uuuurrPM?nuuuur得到点P到l的距离d?PM?cos?? rn得d??x?x0,y?y0??A,B?A?B22?Ax0?By0?CA?B22 （设计意图：在点到直线的距离公式的推导过程中，通过问题获得知识，让学生经历“发现问题——提出问题——解决问题”的过程，使学生感受到用坐标的方法研究几何问题是一种重要的数学方法．由于点和直线处在一般位置，所以公式的推导中会涉及字母运算，比较抽象．为帮助学生理清思路，在教学中强调了算法的思想，让学生在明确算法步骤和算法框图的前提下，再进行有效的公式证明和自学阅读．）
点到直线的距离公式 点P(x0,y0)到直线Ax?By?C?0（其中A、B不同时为0）的距离
d?Ax0?By0?CA?B22.
在学生通过多种方法推导得出公式后，引导学生根据公式的形式特点，记忆公式．同时强调：当A?0或B?0时，公式仍然适用，也可以结合图象直接求出结论．
在此基础上，要求学生利用公式计算补充问题1、2，并与前面的计算结果进行比较，前后呼应，使学生体会运用公式计算的简便性．点到直线的距离公式的应用是本课的一个重点，为了强化学生对公式的记忆和运用，教学进入环节3． ３、点到直线的距离公式的应用 例1 (1)解决课堂提出的实际问题．（学生口答）
(2)求点P0(－1,2)到下列直线的距离 ： ①3x=2 ②5y=3 ③2x＋y=10 ④y=－4x+1
（设计意图：通过例题练习，强化学生对公式的记忆和应用．）
在解决了例1的基础上，由浅入深，补充直线方程含有参数的例2，进一步提高学生灵活运用公式的能力．
例2 已知点A?1,2?到直线y?kx?2的距离为2，求k的值；
问：这直线方程中参数a的几何意义是什么？（教师利用几何画板进行数学实验） （设计意图：进一步提高学生灵活运用公式的能力．在几何画板的软件平台中，通过数学
实验，让学生感受利用代数方法研究几何问题后，再回归几何本身的重要性．） ４、课堂总结
通过以上的学习，你有哪些收获?(知识、能力、情感)。有哪些疑问?谁能答这些疑问? 由学生自主归纳、总结本节课所学习的主要内容，教师加以补充说明 （设计意图：通过小结，使学生本节所学的知识系统化、条理化，巩固知识，明确方法．） 5、课后作业
① 在自学教材P55阅读材料“向量与直线”后，利用向量的方法证明点到直线的距离公式； ② 教材P54习题7.3 13、14、16
（设计意图：熟练的用公式来求点线距离和线线距离。） 九、板书设计
课题：点到直线的距离 点到直线的距离公式 运用公式注意点 课堂小结 （一） 公式推导过程 问题1 方法1： 方法2： 方法3： 问题2 问题3 （二） 典型例题 例1： 例2： （三）作业 十、教学反思
解析几何第一章主要研究的是点线、线线的位置关系和度量关系，其中以点点距离、点线距离、线线位置关系为重点，点到直线的距离是其中最重要的环节之一，它是解决其它解析几何问题的基础。
本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上．本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力．另外还要加强根据已知条件求直线方程的教学。在学习点到直线距离公式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力．向量是一种重要的运算工具，根据我班学生的实际，本课涉及了利用向量的数量积推导点到直线的距离公式的方法．实际上，在立体几何的学习中，还将利用这种算法思路得到点到平面的距离公式．又由于这种方法在思维上有一定的难度，所以，我根据学生的实际情况，提出了分层要求：基本要求是能够理解教材所给的推导方法，并能够应用公式，较高要求是能够利用向量的方法推导点到直线的距离公式.
高中数学 《直线的交点坐标与距离公式》教案7 新人教A版必修2
