章末复习课
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1．复数代数形式为z＝a＋bi，a、b∈R，应用复数相等的条件时，必须先将复数化成代数形式．
2．复数表示各类数的前提条件是必须是代数形式z＝a＋bi(a、b∈R)．z为纯虚数的条件为a＝0且b≠0，注意虚数与纯虚数的区别．
3．不要死记硬背复数运算的法则，复数加减可类比合并同类项，乘法可类比多项式乘法，除法可类比分母有理化．
4．a≥0是在实数范围内的性质，在复数范围内z≥0不一定成立，|z|≠z. 5．复数与平面向量相联系时，必须是以原点为始点的向量． 6．不全为实数的两个复数不能比较大小． 7．复平面的虚轴包括原点．
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专题一 复数的概念
解决与复数概念相关的问题时，复数问题实数化是求解的基本策略，“桥梁”是设z＝x＋yi(x，y∈R)，依据是“两个复数相等的充要条件”．
[例1] (1)已知a，b∈R，i是虚数单位，若(1＋i)(1－bi)＝a，则的值为________． (2)满足方程x－2x－3＋(9y－6y＋1)i＝0的实数对(x，y)表示的点有________．
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ab
解析：(1)因为(1＋i)(1－bi)＝a(a，b∈R)， 则1＋b＋i(1－b)＝a，
?1＋b＝a，?a＝2，??因此?解得?
??1－b＝0，b＝1.??
所以＝2.
ab????x－2x－3＝0，
?(2)2所以?1??9y－6y＋1＝0，?y＝，
2
x＝3或－1，
3
?
1??1??所以点(x，y)为?3，?，?－1，?.
3??3??答案：(1)2 (2)2个 归纳升华
1．当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论，分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x＋yi没有说明x，y∈R时，也要分情况讨论．
2．复数相等的充要条件，其实质是复数问题实数化，体现了转化与化归的思想． 1＋ai
[变式训练] 设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a的值为( )
2－i11
A．2 B．－2 C．－ D. 22解析：
1＋ai（1＋ai）（2＋i）2－a＋（2a＋1）i
＝＝，由于该复数为纯虚数，所以22－i（2－i）（2＋i）5
－a＝0，且2a＋1≠0，因此a＝2.
答案：A
专题二 复数的四则运算及几何意义
历年高考对复数的考查，主要集中在复数的运算，尤其是乘除运算上，熟练掌握复数的乘法法则和除法法则，熟悉常见的结论是迅速准确求解的关键．
复数的加法与减法运算有着明显的几何意义，因此有些问题的求解可结合加法与减法的几何意义进行．
1－i?21?[例2] (1)设z＝＋i＋??，则|z|＝________．
1＋i?1＋i?2i
(2)在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数
1＋i的对称点为B，求：
①点A所在的象限； →
②向量AB对应的复数．
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对应点为A，点A关于原点O
(1)解析：因为
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11－i1i＋i＝＋i＝＋. 1＋i2222
?1－i?＝?－2i?＝(－i)2＝－1.
?1＋i??2?????
1i1i所以z＝＋－1＝－＋.
2222因此|z|＝ 答案：
2 2
?－1?＋?1?＝2. ?2??2?2????
22
2i2i（1－i）
(2)解：①z＝＝＝1＋i，
1＋i（1＋i）（1－i）所以z的共轭复数
＝1－i，
所以点A(1，－1)位于第四象限． ②又点A，B关于原点O对称．
因为点B的坐标为B(－1，1)，则zB＝－1＋i
→
所以向量AB对应的复数为zB－zA＝(－1＋i)－(1－i)＝－2＋2i. 归纳升华
复数代数形式的加、减、乘、除运算是本章的重点，在四则运算时，不要死记结论．对于复数代数形式的加、减、乘运算，要类比多项式的加、减、乘运算进行；对于复数代数形式的除法运算，要类比分式的分母有理化的方法进行．另外，在计算时也要注意下面结论的应用：
(1)(a±b)＝a±2ab＋b.(2)(a＋b)(a－b)＝a－b. 11＋i1－i2
(3)(1±i)＝±2i.(4)＝－i.(5)＝i，＝－i.
i1－i1＋i(6)a＋bi＝i(b－ai)．
3→→
[变式训练] 设O为坐标原点，已知向量OZ1，OZ2分别对应复数z1，z2，且z1＝＋(10
a＋5－a)i，z2＝
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2－→→
＋(2a－5)i(a∈R)，若z1＋z2可以与任意实数比较大小，求OZ1·OZ2的值． 1－a3－－2
解：依题意得z1＋z2为实数，又z1＝－(10－a)i，
a＋532－2
所以z1＋z2＝＋＋[(a－10)＋(2a－5)]i的虚部为0，
a＋51－a则a＋2a－15＝0，解得a＝－5或a＝3. 又a＋5≠0，所以a＝3.
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高中数学人教A版选修1-2：第三章 章末复习课 Word版含答案
