选修1-1第一章单元综合测试

选B.由“∧”联结构成的复合命题，必须两个命题均为真，复合命题才为真．

二、填空题(每小题4分，共16分)

13．“相似三角形的面积相等”的否命题是“________”，它的否定是“________”．

【答案】 若两个三角形不相似，则它们的面积不相等 有些相似三角形的面积不相等

【解析】 首先分清原命题的条件和结论，否命题是对条件和结论同时进行否定，而命题的否定是只对命题的结论进行否定．

14．写出命题“若方程ax2－bx＋c＝0的两根均大于0，则ac>0”的一个等价命题是________．

[答案] 若ac≤0，则方程ax2－bx＋c＝0的两根不全大于0 [解析] 原命题与逆否命题等价．

15．设命题p：|4x－3|≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若?p是?q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

1【答案】 0≤a≤2 1

【解析】 命题p：|4x－3|≤1?2≤x≤1； 命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0?a≤x≤a＋1. ∵?p是?q的必要不充分条件， ∴p是q的充分不必要条件，

1??a≤2

则有?

??a＋1≥1

1

，∴0≤a≤2. 16．下列三个命题中，真命题的序号有________(写出所有真命题的序号)．

①将函数y＝|x＋1|的图象向左平移1个单位，得到的图象对应的函数表达式为y＝|x|.

1

②圆x＋y＋4x－2y＋1＝0与直线y＝2x相交，所得弦长为2.

2

2

11tanα

③若sin(α＋β)＝2，sin(α－β)＝3，则tanβ＝5. 【答案】 ③

【解析】 ①错误，得到的图象对应的函数表达式应为y＝|x＋2|. 1

②错误，圆心坐标为(－2,1)，半径为2，圆心到直线y＝2x的距45

离为5，圆截直线所得弦长为2

452454－?5?＝5. 1

③正确，sin(α＋β)＝2＝sinαcosβ＋cosαsinβ，sin(α－β)＝sinαcosβ15

－cosαsinβ＝3，两式相加，得2sinαcosβ＝6，两式相减，得2cosαsinβ1tanα＝6，将以上两式相除，即得tanβ＝5.

三、解答题(共74分)

17．(本题满分12分)写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

【解析】 逆命题：若x＝2且y＝－1，则

x－2＋(y＋1)2＝0；

真命题．

否命题：若

x－2＋(y＋1)2≠0，则x≠2或y≠－1；真命题．

x－2＋(y＋1)2≠0；真命题．

逆否命题：若x≠2或y≠－1，则18．(本题满分12分)指出下列各组命题中，p是q的什么条件？(在“充分不必要条件”、“必要不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种)

(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC； (2)p：a＝3，q：(a＋2)(a－3)＝0； (3)p：a>2，q：a>5； a(4)p：a

【解析】 (1)在△ABC中，∠A>∠B?BC>AC.所以p是q的充要条件．

(2)a＝3?(a＋2)(a－3)＝0，但(a＋2)(a－3)＝0?/ a＝3.所以p是q的充分而不必要条件．

(3)a>2?/ a>5，但a>5?a>2，所以p是q的必要而不充分条件． aa(4)a

19．(本题满分12分)已知p：x∈A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，q：x∈B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

(1)若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

(2)若p是綈q的充分条件，求实数m的取值范围.

【解析】 由x2－2x－3≤0得－1≤x≤3，∴A＝[－1,3]． 由x2－2mx＋m2－4≤0得m－2≤x≤m＋2，∴B＝[m－2，m＋2]． (1)若A∩B＝[0,3]，则m－2＝0，∴m＝2，此时，B＝[0,4]，符合题意．

(2)綈q：x>m＋2或x

由题意得A?(－∞，m－2)∪(m＋2，＋∞)， ∴m－2>3或m＋2<－1，解得m>5或m<－3. 即m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．

20．(本题满分12分)已知函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0.求实数p的取值范围．

【解析】 在区间[－1,1]上至少存在一个实数c，使得f(c)>0的否定是：在[－1,1]上的所有实数x，都有f(x)≤0恒成立．又由二次函

??f?－1?≤0，数的图象(如图)特征可知：?

??f?1?≤0

?4＋2?p－2?－2p－p＋1≤0，即?2

4－2?p－2?－2p－p＋1≤0?

2

1?p≥1或p≤－?2，

??3?p≥?2或p≤－3，

3

∴p≥2或p≤－3.

3

故p的取值范围是－30，a≠1，设p：函数y＝loga(x＋1)在x∈(0，＋∞)内单调递减；q：曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同的两点，如果p与q有且只有一个正确，求a的取值范围．

【解析】 当0

当a>1时，y＝loga(x＋1)在(0，＋∞)内不是单调递减． 曲线y＝x2＋(2a－3)x＋1与x轴交于不同两点等价于(2a－3)2－15

4>0.即a<2或a>2. (1)p正确，q不正确．

??1?5?1?????则a∈(0,1)∩a2≤a≤2且a≠1，即a∈2，1?.

?????

(2)p不正确，q正确．

??15?

??则a∈(1，＋∞)∩a02?， ????5?

即a∈?2，＋∞?.

?

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