抛物线
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．如果抛物线y=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为
A．（1, 0）
2 2
（ ）
B．（2, 0） C．（3, 0） D．（－1, 0）
2．圆心在抛物线y=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ）
A．x+ y-x-2 y -2
2
2
2
1=0 4B．x+ y+x-2 y +1=0
D．x+ y-x-2 y +
2
2
2 2
C．x+ y-x-2 y +1=0
21=0 43．抛物线y?x上一点到直线2x?y?4?0的距离最短的点的坐标是
A．（1，1）
B．（
（ ）
11,） 24C．(,)
3924D．（2，4）
4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m，若水面下降1m，则水面宽为（ ）
A．6m
B． 26m
C．4.5m
D．9m
（ ）
5．平面内过点A（-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是
A． y=－2x
2
B． y=－4x
2
C．y=－8x
2
D．y=－16x
2
6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5，m）到焦点距离是6，则抛物线的方程是 （ ） A． y=-2x C． y=2x
2
2 2
B． y=-4x
2
2
2
D． y=-4x或y=-36x 7．过抛物线y=4x的焦点作直线，交抛物线于A(x1, y 1) ，B(x2, y 2)两点，如果x1+ x2=6，那么|AB|= （ ） A．8
2
B．10 C．6 D．4
8．把与抛物线y=4x关于原点对称的曲线按向量a?(2,?3)平移，所得的曲线的方程是（ ）
A．(y?3)??4(x?2) C．(y?3)??4(x?2)
2
2B．(y?3)??4(x?2) D． (y?3)??4(x?2)
（ ）
2229．过点M（2，4）作与抛物线y=8x只有一个公共点的直线l有
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
10．过抛物线y =ax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则
2
11
?等于 pq
B．
（ ）
A．2a
1 2aC．4a D．
4 a二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
11．抛物线y=4x的弦AB垂直于x轴，若AB的长为43，则焦点到AB的距离为 ．
2
12．抛物线y =2x的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．
2
13．P是抛物线y=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q，点Q的坐标是 ．
2
x2y2??1的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 14．抛物线的焦点为椭圆94 ．
三、解答题（本大题共6小题，共76分）
15．已知动圆M与直线y =2相切，且与定圆C：x?(y?3)?1外切，求动圆圆心M的轨迹
方程．(12分)
16．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（－3，m）到焦点的距离等于
5，求抛物线的方程和m的值．（12分）
22
17．动直线y =a，与抛物线y?的轨迹的方程．(12分)
18．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，
载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？(12分)
19．如图，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1．以A、B为端点的曲线段C上的任一点
到l2的距离与到点N的距离相等．若△AMN为锐角三角形，|AM|=|BN|=6．建立适当的坐标系，求曲线段C的方程．(14分)
，|AN|=3，且
21x相交于A点，动点B的坐标是(0,3a)，求线段AB中点M2
20．已知抛物线y?2px(p?0)．过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不
同的两点A、B，|AB|?2p．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求Rt?NAB面积的最大值．(14分)
2
参考答案
一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
题号 答案 1 A 2 D 3 A 4 B 5 C 6 B 7 A 8 C 9 C 10 C 二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．2 12．x
?
k
13．（1，0） 14．y2??45x 4
三、解答题（本大题共6题，共76分）
15．（12分）[解析]：设动圆圆心为M（x，y），半径为r，则由题意可得M到C（0，-3）的距离与到直线y=3
的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C（0，-3）为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其方程为x2??12y．
216． (12分)[解析]：设抛物线方程为x??2py(p?0)，则焦点F（?p，由题意可得 ,0）2?m2?6p?m?26?m??26 ?，解之得?或?，
?2p2?p?4?p?4?m?(3?)?52? 故所求的抛物线方程为x2??8y，m的值为?26
2?x?a217．（12分）[解析]：设M的坐标为（x，y），A（2a，a），又B(0,3a)得 ?
?y?2ay2 消去a，得轨迹方程为x?4，即
y2?4x
yOA'AxB18．（12分）[解析]：如图建立直角坐标系，
设桥拱抛物线方程为x2??2py(p?0)，由题意可知，
B（4，-5）在抛物线上，所以
p?1.6，得x2??3.2y，
2 当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA’，则A（2,yA），由2??3.2yA得
yA??5，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以h?yA?0.75=2米 419．(14分) [解析]：如图建立坐标系，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点．由题意可
知：曲线C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为C的端点． 设曲线段C的方程为
y2?2px(p?0),(xA?x?xB,y?0)，
其中xA,xB分别为A、B的横坐标， 所以，M(?p?MN．
pp,0),N(,0)． 由AM?17，AN?3得 22
p(xA?)2?2pxA?17 ①
2p(xA?)2?2pxA?9 ②
2联立①②解得xA?4p．将其代入①式并由p>0解得??p?4?p?2，或?．
?xA?1?xA?2因为△AMN为锐角三角形，所以
?p?2p． ∴p=4，xA?1． ?xA，故舍去?x?22?A22由点B在曲线段C上，得x?BN?p?4．综上得曲线段C的方程为y?8x(1?x?4,y?0)．
B20．(14分) [解析]：（Ⅰ）直线l的方程为
22y?x?a，将y?x?a代入y2?2px，
得 x?2(a?p)x?a?0． 设直线l与抛物线两个不同交点的坐标为A(x1,y1)、B(x2,y2)，
?4(a?p)2?4a2?0,?则 ?x1?x2?2(a?p), 又y1?x1?a,y2?x2?a， ?2?x1x2?a.∴|AB|?(x1?x2)2?(y1?y2)2 ?2[(x1?x2)2?4x1x2]?8p(p?2a)．
∵
0?|AB|?2p,8p(p?2a)?0， ∴ 0?8p(p?2a)?2p． 解得 ?
pp?a??． 24（Ⅱ）设AB的垂直平分线交AB于点Q，令坐标为(x3,y3)，则由中点坐标公式，得
x3?y?y2(x1?a)?(x2?a)x1?x2??p． ?a?p， y3?1222|2?(a?p?a)2?(p?0)2?2p2． 又 ?MNQ为等腰直角三角形，
∴ |QM∴ |QN1|?|QM|?2p， ∴S?NAB?|AB|?|QN|?2p|AB| ?2p?2p ?2p2
2222即?NAB面积最大值为2p
高中数学《抛物线》同步练习9 新人教A版选修1-1
