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2024年全国高中数学联赛广东赛区预赛试卷及详解
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1?ae?x1. 函数f(x)?（a?1）的值域为 ． ?x1?e2.设集合A?{x|x2?[x]?2}和B?{x||x|?2}，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，则AB? ．
?2x3.已知方程xe?k?0在区间(?2,2)内恰有两个实根，则k的取值范围是 ．
4.已知?ABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、4b3成等比数列，则S?ABC:a2? ．
5.已知点A(1,1)，B(1/2,0)，C(3/2,0)，经过点A，B的直线和经过A，C的直线与直线y?a（0?a?1）所围成的平面区域为G，已知平面矩形区域
{(x,y)|0?x?2,0?y?1}中的任意一点进入区域G的可能性为
1，则a? ． 166.袋中装有m个红球和n个白球，m?n?4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m?n?40的数组(m,n)的个数为 ．
7.已知关于x的实系数方程x?2x?2?0和x?2mx?1?0的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，则m的取值范围是 ．
8.已知圆x?y?8围成的封闭区域上（含边界）的整点（坐标均为整数的点）数是椭圆
22221x2y2??1围成的封闭区域上（含边界）整点数的，则正实数a的取值范围是 ．
5a24
二、解答题 ：本大题共3小题，共56分.
9.设函数f(x)?ex?1?x，
（1）求f(x)在区间[0,]（n为正整数）的最大值bn； （2）令an?e?1?bn，pk?1n1na1a4a2k（n，k为正整数），求证：
a1a3a2k?1p1?p2?
pn?2?1?1. an10.如图，矩形ABCD沿平行于AD的线段EF向上翻折（点E在线段AB上运动，点F在线段CD上运动），得到三棱柱ABE?CDF，已知AB?5，AC?34. （1）若?ABG是直角三角形，这里G是线段EF上的点，试求线段EG的长度x的取值范围；
（2）若（1）中EG的长度为取值范围内的最大整数，且线段AB的长度取得最小值，求二面角C?EF?D的值；
（3）在（1）与（2）的条件都满足的情况下，求三棱锥A?BFG的体积.
11.已知正整数n都可以唯一表示为n?a0?a19?a292?非负整数，aj?{0,1,?am9m（*）的形式，其中m为
.试求（*）中的数列a0，a1，
,8}（j?0,1,，am?,,m?1）1{}8,a2，…，am严格单调递增或严格单调递减的所有正整数n的和.
2024年全国高中数学联赛广东赛区预赛答案
一、填空题
1.(a,1)
2.{?1,3}
3.(?12,?4) 2ee4.
3 2325.
1 26.3
7.{m|?1?m?1或n??}
8.22?a?23
三、解答题
x9.解：（1）因为f'(x)?e?1，所以，当x?[0,]时，f'(x)?0，即f(x)在[0,]是增
1n1n111函数，故f(x)在[0,]上的最大值为bn?en?1?
nn1n（2）由（1）知an?e?1?bn?1 n(2k?1)(2k?1)4k2?1因为??1，所以
(2k)24k2?135(2k?1)?133557?24(2k)??224262??又易证明2(2k?1)(2k?1)11?
(2k)22k?12k?11?2k?1?2k?1，所以 2k?1pk?a2a4a2k135(2k?1)1???2k?1?2k?1 a1a3a2k?124(2k)2k?1所以p1?p2??pn?(3?1)?(5?3)+2?1?1 an2?1?1 an+（2n?1?2n?1)
?2n?1?1?即p1?p2??pn?10.（1）有题设条件可知?AEG，?BEG均为直角三角形，因此AG?AE?x，
222BG2?BE2?x2
由余弦定理：AB?AE?BE?2AEBEcos?AEB，
于是：2x?AE?BE?AB?AE?BE?2AEBEcos?AEB，
222222222x2??AEBEcos?AEB?AEBE?t(5?t)??t2?5t?2.52
所以：x?[0,2.5)，又对
k2?k?[0,2.5)，AE?EB?2.5，?AEB???arccos2，
2.5则：x??AEBFcos?AEB?k，故：x的取值范围为[0,2.5).
（2）因为AE?EF，BF?EF，所以?AEB就说二面角C?EF?D的平面角，又由（1）知，EG的长度x为[0,2.5)的最大整数，因此x?2.于是：
AB2?t2?(5?t)2?4?2t2?10t?29，t?(0,5)
因此t?2.5时，线段AB的长度取得最小值，由此得：
2??258cos?AEB，?AEB???arccos. 425（3）由（1）、（2）知
?AEB???arccos且EF?8541，AE?EB?，AG?BG?，EG?2， 2522AC2?AB2?34?25?3.
BE?E，所以：EF?平面EAB，故：
因为AE?EF，BE?EF，AE1VA?BFG?VA?BEG?(S?AEBEF?S?AGBEG)?
31?1164413561?82?12522 (AEsin?AEB)EF?BFEG?(1?3?2)???3?22625424?64
11.设A和B分别表示（*）中数列严格单调递增和递减的所有正整数构成的集合.符号
S(M)表示数集M中所有数的和，并将满足（*）式的正整数记为：
n?amam?1a1a0
把集合A分成如下两个不交子集A0?{n?A|a0?0}和A1?{n?A|a0?0}，我们有
2024年全国高中数学联赛广东预赛试题及详解
