第十九章 一次函数
教学目标
1.能根据具体问题中的数量关系和变化律体会一次函数的意义，并根据已知条件确定一次函数的表达式。
2.会画一次函数图象，根据一次函数图象和解析表达式理解其性质。
3.能运用类比思想比较一次函数和正比例函数的异同点，初步体会数形结合思想，并能运用数形结合的方法解决有关实际问题，并尝试用函数的方法描述有关实际问题，对变量的变化规律进行初步预测。 一、本章知识梳理 1.一般的若
y?kx?b（k，b是常数，且k?0）
，那么y叫做x的一次函数，
当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数。
2.正比例函数y?kx（k?0）是一次函数的特殊形式,当x=0时，y=0,故正比例函数图像过原点（0,0).
3.一次函数的图像和性质： 一次 函数 k，b y?kx?b (k?0) k?0 b?0 yk?0 b?0 yOO符号 b?0 yOb?0 yOb?0 yO b?0 y图象 Oxxxxxx性质 y随x的增大而增大 y随x的增大而减小 说明：（1）与坐标轴交点（0，b）和（-
b，0）, b的几何意义：_____________________ k （2）增减性： k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.
（3）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴。 （4）图像的平移： 当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位可得y=kx+b的图像；
当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位可得y=kx+b的
图像.
4.直线b1=k1x+b1与直线y2=k2x+b2（k1≠0 ，k2≠0）的位置关系．
①k1≠k2?y1与y2相交；
②??k1?k2； ?y1与y2相交于y轴上同一点（0，b1）或（0，b2）
?b1?b2③??k1?k2,?y1与y2平行；
b?b2?1?k1?k2,④??y1与y2重合.
b?b?12
5.一次函数解析式的确定，主要有三种方法： (1)由已知函数推导或推证
(2)由实际问题列出二元方程，再转化为函数解析式。
(3)用待定系数法求函数解析式。
二、典例精析
题型一：一次函数的概念
m例1.已知函数y=(m-2)x2?3+3,当m为何值时，y是x的一次函数？
解析：根据一次函数的定义，x的次数必须为1，系数不为0，即可求出m的值。
练习：1.已知函数y=(m-1)x+m是一次函数，求m的范围。
2.已知函数y=(k-1)x+k-1,当k____________时，它是一次函数，当k__________时，它是正比例函数。
答案：1.m≠1 2. ≠1, -1
题型二：一次函数的图像与性质
例2.对于一次函数y=﹣2x+4，下列结论错误的是（ ） A． 函数值随自变量的增大而减小 B． 函数的图象不经过第三象限
C． 函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象 D． 函数的图象与x轴的交点坐标是（0，4）
解析：这是探究型题目，考查一次函数的性质；一次函数图象与几何变换。
2 分别根据一次函数的性质及函数图象平移的法则进行解答即可． 答：选D
A．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，∴函数值随x的增大而减小，故本选项正确； B．∵一次函数y=﹣2x+4中k=﹣2＜0，b=4＞0，∴此函数的图象经过一．二．四象限，不经过第三象限，故本选项正确；
C．由“上加下减”的原则可知，函数的图象向下平移4个单位长度得y=﹣2x的图象，故本选项正确；
D．∵令y=0，则x=2，∴函数的图象与x轴的交点坐标是（2，0），故本选项错误． 练习：1.如图，两直线y1?kx?b和y2?bx?k在同一坐标系内图象的位置可能是（ ）
2.一次函数y=kx+2经过点（1，1），那么这个一次函数（ ）B （A）y随x的增大而增大 （B）y随x的增大而减小 （C）图像经过原点 （D）图像不经过第二象限 3.如果ab?0，
aac?0，则直线y??x?不通过（ ） cbbA．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
题型三：一次函数解析式和图象的确定
例3.直线与x轴交于点A（-4，0），与y轴交于点B，若点B到x轴的距离为2，求直线的解析式。
分析：确定一次函数解析式问题，用待定系数法，同时要寻求隐含条件，从而确定k和b的值。
解 ∵点B到x轴的距离为2， ∴点B的坐标为（0，±2）， 设直线的解析式为y=kx±2,
∵直线过点A（-4，0）， ∴0=-4k±2, 解得：k=±
, ∴直线AB的解析式为y=
x+2或y=-x-2.
例4.小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途时，自行车出了故障，只好停下来修车，车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快了速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s（m）关于时间t（min）的函数图象，那么符合小明行驶情况的大致图象是（ ） A． B． C． D． 答：选C． 练习：
1.如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣
2）．
（1）求直线AB的解析式 （2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标． 分析：待定系数法求一次函数解析式。本题考查了待定系数法求函数解析式，解答此题不仅
要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式 解答：解： （1）直线AB的解析式为y=2x﹣2．
（2）点C的坐标是（2，2）．
2.周一的升旗仪式上，同学们看到匀速上升的旗子，能反应其高度与时间关系的图象大致是（ D ） A ．
B．
C．
D．
分析：本题是一次函数的应用题，考查了函数图象，根据题意判断出旗子的高度与时间是一次函数关系，并且随着时间的增大高度在不断增大是解题的关键. 题型四：一次函数的实际应用
例5.随着人们生活水平的提高，轿车已进入平常百姓家，我市家庭轿车的拥有量也逐年增加．某汽车经销商计划用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车．两种轿车的进价和售价如下表：
类别 进价（万元/台） 售价（万元/台） 甲 10.5 11.2 乙 6 6.8 （1）请你帮助经销商算一算共有哪几种进货方案？
（2）如果按表中售价全部卖出，哪种进货方案获利最多？并求出最大利润． （注：其他费用不计，利润=售价﹣进价）
考点：一次函数的应用；一元一次不等式组的应用。
分析：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，根据：用不低于228万元且不高于240万元的资金订购30辆甲、乙两种新款轿车，列不等式组，求x的取值范围，再求正整数x的值，确定方案；
（2）根据：利润=（售价﹣进价）×辆数，总利润=甲轿车的利润+乙轿车的利润，列出函数关系式，根据x的取值范围求最大利润．
解：（1）设购进甲款轿车x辆，则购进乙款轿车（30﹣x）辆，依题意，得 228≤10.5x+6（30﹣x）≤240， 解得10
21≤x≤13，∴整数x=11，12，13， 33有三种进货方案：购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆； 购进甲款轿车12辆，购进乙款轿车18辆； 购进甲款轿车13辆，购进乙款轿车17辆．
（2）设总利润为W（万元），则W=（11.2﹣10.5）x+（6.8﹣6）（30﹣x）=﹣0.1x+24， ∵﹣0.1＜0，W随x的减小而增大，
∴当x=11时，即购进甲款轿车11辆，购进乙款轿车19辆，利润最大， 最大利润为W=﹣0.1×11+24=22.9万元．
点评：本题考查了一次函数的应用．关键是明确进价，售价，购进费用，销售利润之间的关系，利用一次函数的增减性求解．
第十九章一次函数复习教案
