4.4 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及应用
π???π?1．函数y＝sin?2x－?在区间?－，π?上的简图是( ) 3???2?
答案 A
3?π??π?解析 令x＝0得y＝sin?－?＝－，排除B，D项，由f ?－?＝0，f 2?3??3?C项，故选A.
π??2．为了得到函数y＝sin?2x－?的图象，可以将函数y＝sin2x的图象( ) 6??π
A．向右平移个单位长度
6π
B．向右平移个单位长度
12π
C．向左平移个单位长度
6π
D．向左平移个单位长度
12答案 B
π?π??π?解析 y＝sin?2x－?＝sin 2?x－?，故将函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度，6?12??12?π??可得y＝sin?2x－?的图象． 6??
3．若将函数f (x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是( ) ππ3π5π
A.B.C.D. 8484
?π?＝0，排除
?6???
答案 C
π??解析 f (x)＝sin2x＋cos2x＝2cos?2x－?，将函数f (x)的图象向右平移φ个单位长度4??π??后所得图象对应的函数为y＝2cos?2x－－2φ?，且该函数为偶函数， 4??π3π
故2φ＋＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为.
48
π?π?4．将函数f (x)＝sin(2x＋φ)?|φ|
2?6?
?π?函数f (x)在?0，?上的最小值为( )
2??
A．－3113
B．－C.D. 2222
答案 A
π??π??解析 将函数f (x)＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位长度得到y＝sin?2?x＋?＋φ?6?6???ππ??＝sin?2x＋＋φ?的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则＋φ＝kπ(k∈Z)，又
33??π?πππ?π2π???π?|φ|<，所以φ＝－，即f (x)＝sin?2x－?.当x∈?0，?时，2x－∈?－，?，
3?2?3?233?3??ππ3
所以当2x－＝－，即x＝0时，f (x)取得最小值，最小值为－.
332
π?π?5．若把函数y＝sin?ωx－?的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cosωx6?3?的图象重合，则ω的一个可能取值是( ) 321
A．2B.C.D.
232答案 A
解析 y＝sin?ωx＋
??
ωππ?ωπππ
－?和函数y＝cosωx的图象重合，可得－＝＋2kπ，36?362
k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.
∴ω的一个可能值是2.
6．(2024·安徽省合肥市一中、合肥六中联考)已知函数f (x)＝3sin2x－2cosx＋1，将f (x)1
的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移1个单
2位长度，得到函数y＝g(x)的图象，若g(x1)·g(x2)＝9，则|x1－x2|的值可能为( ) A.
5π3πππB.C.D. 4423
2
答案 C
解析 函数f (x)＝3sin2x－2cosx＋1 π??2x－＝3sin2x－cos2x＝2sin??， 6??
π??变换后得函数y＝g(x)＝2sin?4x－?＋1的图象，易知函数y＝g(x)的值域为[－1,3]． 6??若g(x1)·g(x2)＝9，则g(x1)＝3且g(x2)＝3，均为函数y＝g(x)的最大值， 2ππ
∴|x1－x2|的值为函数y＝g(x)的最小正周期T的整数倍，且T＝＝.
42
π?π?7．(多选)将函数f (x)＝3cos?2x＋?－1的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个
3?3?单位长度，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)具有以下哪些性质( ) π
A．最大值为3，图象关于直线x＝－对称
3B．图象关于y轴对称 C．最小正周期为π
2
?π?D．图象关于点?，0?成中心对称 ?4?
答案 BCD
π?π?解析 将函数f (x)＝3cos?2x＋?－1的图象向左平移个单位长度，
3?3?
??π?π?得到y＝3cos?2?x＋?＋?－1＝3cos(2x＋π)－1＝－3cos2x－1的图象；
3?3???
再向上平移1个单位长度，得到函数g(x)＝－3cos2x的图象．
π3
对于函数g(x)，它的最大值为3，由于当x＝－时，g(x)＝，不是最值，故g(x)的图象
32π
不关于直线x＝－对称，故A错误；
3
由于该函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故B正确； 2π
它的最小正周期为＝π，故C正确；
2
π?π?当x＝时，g(x)＝0，故函数的图象关于点?，0?成中心对称，故D正确． 4?4?
8．(多选)已知函数f (x)＝sin2x＋2cosx－1，下列四个结论正确的是( )
2
?3ππ?A．函数f (x)在区间?－，?上是增函数
8??8
B．点?
?3π，0?是函数f (x)图象的一个对称中心
?
?8?
π
C．函数f (x)的图象可以由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到
4
?π?D．若x∈?0，?，则f (x)的值域为[0，2]
2??
答案 AB
π??2
解析 函数f (x)＝sin2x＋2cosx－1＝sin2x＋cos2x＝2sin?2x＋?.
4??π?ππ??3ππ?若x∈?－，?，则2x＋∈?－，?，
8?4?22??8
?3ππ?因此函数f (x)在区间?－，?上是增函数，
8??8
因此A正确；
?3π??3π＋π?＝2sinπ＝0，
因为f ??＝2sin?4??8??4?
因此点?
?3π，0?是函数f (x)图象的一个对称中心，
??8?
因此B正确；
π??π??由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到y＝2sin?2?x＋??＝2cos2x，
4??4??π
因此由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度不能得到函数f (x)的图象，因此C不
4正确；
π?π5π??π?若x∈?0，?，则2x＋∈?，?，
2?4?4?4?π??2??∴sin?2x＋?∈?－，1?， 4??2??
∴f (x)的值域为[－1，2]，因此D不正确．
π??9．已知函数f (x)＝2sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|
2??函数f (x)的单调递增区间为____________________．
π?5π?答案 2 ?－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)
12?12?
Tπ?π?π
解析 由图象知＝－?－?＝，
23?6?2
2π
则周期T＝π，即＝π，
ω则ω＝2，f (x)＝2sin(2x＋φ)．
?π?由2×?－?＋φ＝2kπ，k∈Z， ?6?
ππ
又|φ|<，所以φ＝，
23π??则f (x)＝2sin?2x＋?.
3??
πππ
令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
2325ππ
得－＋kπ≤x≤kπ＋，k∈Z，
1212
π?5π?即函数的单调递增区间为?－＋kπ，＋kπ?(k∈Z)．
12?12?
π??10.已知函数f (x)＝sin(ωx＋φ)?ω>0，|φ|
2??
??x2∈?－，?，且f (x1)＝f (x2)，则f (x1＋x2)＝________.
63
?
?
ππ
答案
3 2
解析 设f (x)周期为T，
Tπ?π?π
由题图可知，＝－?－?＝，
23?6?2
ππ－＋63π
则T＝π，ω＝2，又＝，
212
?π?所以f (x)的图象过点?，1?， ?12??π?即sin?2×＋φ?＝1， ?12?
ππ
所以2×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
122
(江苏专用)2024新高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用练习
