所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后得到部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．为保证结果正确，可对得到的和取n＝1,2进行验证.
『对接训练』
2．[2024·山东青岛一模]已知公比为q的等比数列{an}满足2a1＋a3
＝3a2，且a3＋2是a2，a4的等差中项．
(1)求q的值；
(2)若bn＝anlog2an，求数列{bn}的前n项和Sn. 解析：(1)设等比数列{an}的公比为q，
??2a1＋a3＝3a2，
依题意，有?
?a2＋a4＝2?a3＋2?，?
2??a1?2＋q?＝3a1q ①，即? 32??a1?q＋q?＝2a1q＋4 ②， 由①得q2－3q＋2＝0，解得q＝2或q＝1. 代入②知q＝1不成立，故舍去，所以q＝2. (2)由(1)知a1＝2，所以an＝2n， bn＝anlog2an＝2nlog22n＝n·2n， 所以Sn＝2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n， 所以2Sn＝22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1， 两式相减得－Sn＝2＋22＋…＋2n－n·2n＋1＝(1－n)2n＋1－2， 所以Sn＝(n－1)2n＋1＋2. 考点3 裂项相消法求和 裂项相消法是指把数列和式中的各项分别裂开后，某些项可以相?1??1?互抵消从而求和的方法，主要适用于?aa?或?aa?(其中{an}为等差?nn＋1??nn＋2?数列)等形式的数列求和． [例3] [2024·湖南省湘东六校联考]已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝Sn－1＋1(n≥2，n∈N*)，且a1＝1. (1)求数列{an}的通项公式an； 12(2)记bn＝，T为{bn}的前n项和，求使Tn≥n成立的n的最an·an＋1n小值． 【解析】 (1)由已知有Sn－Sn－1＝1(n≥2，n∈N*)，∴数列{Sn}为等差数列，又S1＝a1＝1，∴Sn＝n，即Sn＝n2. 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 又a1＝1也满足上式，∴an＝2n－1. 1?11?1－?， (2)由(1)知，bn＝＝??2n－1??2n＋1?2?2n－12n＋1?11111?1?1?1?n1－＋－＋…＋－1－????∴Tn＝23352n－12n＋1?＝2?2n＋1?＝2n＋1. ?2由Tn≥n得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，∴n≥5， ∴n的最小值为5.
利用裂项相消法求和的注意事项 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项； (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差11和系数之积与原通项相等．如：若{an}是等差数列，则＝danan＋1?11?1?11?1－－??，?. ＝??anan＋1?anan＋22d?anan＋2?『对接训练』 23．[2024·安徽池州期末]已知数列{an}的前n项和为Sn，an＝3Sn＋1*(n∈N)． 3
(1)求数列{an}的通项公式； 1(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn. log3an＋1＋log3an＋22131解析：(1)由an＝3Sn＋3，可得Sn＝2an－2， 31当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，则 1??31?3?33????an＝Sn－Sn－1＝2an－2－2an－1－2＝2an－2an－1，整理得an＝3an－????31(n≥2)，而a＝S＝a－111212，即a1＝1， 所以数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝1×3n－1＝3n－1.故数列{an}的通项公式为an＝3n－1. 1(2)由(1)得bn＝ log3an＋1＋log3an＋211＝＝ n－1n－1log33＋1＋log33＋2n＋n＋1＝n＋1－n， 所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(n＋1－n)＝n＋1－1. 考点4 分组转化求和 分组求和法 一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分即能分别求和，然后再合并． [例4] [2024·天津南开附中期中]已知数列{an}是等比数列，满足a1＝3，a4＝24，数列{bn}是等差数列，满足b2＝4，b4＝a3. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式． (2)设cn＝an－bn，求数列{cn}的前n项和． 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q， a424由题意，得q3＝a＝3＝8，解得q＝2， 1∴{an}的通项公式为an＝a1qn－1＝3×2n－1， ∴a3＝12. 设等差数列{bn}的公差为d， ∵b2＝4，b4＝a3＝12，b4＝b2＋2d， ∴12＝4＋2d，解得d＝4. ∴bn＝b2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×4＝4n－4.
故{bn}的通项公式为bn＝4n－4. (2)由(1)知an＝3×2n－1，bn＝4n－4， ∴cn＝an－bn＝3×2n－1－(4n－4)． 从而数列{cn}的前n项和Sn＝3×20＋3×21＋…＋3×2n－1－[0＋41－2nn?4n－4?nn＋8＋…＋(4n－4)]＝3×－＝3×2－3－n(2n－2)＝3×221－2－2n2＋2n－3. 1．若一个数列由若干个等差数列或等比数列组成，则求和时可用分组转化法分别求和再相加减． 形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用相邻两项并项(分组)后，再分组求和． 2．分组求和中的分组策略 (1)根据等差、等比数列分组； (2)根据正号、负号分组.
高考文科数学二轮专题复习讲义递推数列及数列求和的综合问题
