第2讲 递推数列及数列求和的综合问题 考点1 由递推关系式求通项公式 (1)累加法：形如an＋1＝an＋f(n)，利用an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)，求其通项公式． an＋1a2a3an(2)累积法：形如a＝f(n)≠0，利用an＝a1·…·，求其通a1·a2·an－1n项公式． (3)待定系数法：形如an＋1＝pan＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，先用待定系数法把原递推公式转化为an＋1－t＝p(an－t)，其中tq＝，再转化为等比数列求解． 1－p(4)构造法：形如an＋1＝pan＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)，an＋1pan1n＋1先在原递推公式两边同除以q，得n＋1＝q·qn＋q，构造新数列qan??p1{bn}?其中bn＝qn?，得bn＋1＝q·bn＋q，接下来用待定系数法求解． ??[例1] 根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： (1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1； n－1(2)a1＝1，an＝nan－1(n≥2)； (3)a1＝1，an＋1＝3an＋2. 【解析】 (1)由题意得，当n≥2时， an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ?n－1??2＋n?n?n＋1?＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝2＋1. 21×?1＋1?又a1＝2＝＋1，符合上式， 2n?n＋1?因此an＝2＋1. n－1(2)∵an＝nan－1(n≥2)， n－21∴an－1＝a－，…，a2＝2a1. n－1n2以上(n－1)个式子相乘得 n－1a1112an＝a1·…·n＝n＝n. 2·3·
当n＝1时，a1＝1，上式也成立． 1∴an＝n. (3)∵an＋1＝3an＋2， an＋1＋1∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3， an＋1∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3， 又a1＋1＝2， ∴an＋1＝2·3n－1， ∴an＝2·3n－1－1. 由数列递推式求通项公式的常用方法 『对接训练』 1．根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： (1)a1＝1，an＋1＝an＋2n； (2)a1＝1，an＋1＝2nan； 2an(3)a1＝1，an＋1＝. an＋2解析：(1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n1－2nn－2＋…＋2＋1＝＝2－1. 1－2an＋1n(2)∵a＝2， na21a32an∴a＝2，a＝2，…，＝2n－1， an－112将这n－1个等式叠乘， an1＋2＋…＋(n－1)得a＝2＝21∴an＝2n?n-1?2n?n+1?2， . 2an(3)∵an＋1＝， an＋2an＋2111取倒数得：＝＝＋， an＋12anan2111∴－a＝2， an＋1n
1∵a1＝1，∴a＝1， 1?1?1∴?a?是以1为首项，2为公差的等差数列， ?n?11n＋1∴a＝1＋(n－1)·2＝2， n2∴an＝. n＋1
考点2 错位相减法求和 错位相减法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分别是等差数列和等比数列． [例2] [2024·天津卷]设{an}是等差数列，{bn}是等比数列，公比大于0.已知a1＝b1＝3，b2＝a3，b3＝4a2＋3. (1)求{an}和{bn}的通项公式； ?1，n为奇数，(2)设数列{cn}满足cn＝?n求a1c1＋a2c2＋…＋?b2，n为偶数.a2nc2n(n∈N*)． 【解析】 (1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q. ????3q＝3＋2d，?d＝3，?d＝－3，依题意，得?2解得?或?(舍) ???3q＝15＋4d，q＝3，q＝－1，???故an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3×3n－1＝3n. 所以{an}的通项公式为an＝3n，{bn}的通项公式为bn＝3n. (2)a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n ＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2b1＋a4b2＋a6b3＋…＋a2nbn) ?n?n－1???＋(6×31＋12×32＋18×33＋…＋6n×3n) ＝?n×3＋×62??＝3n2＋6(1×31＋2×32＋…＋n×3n)． 记Tn＝1×31＋2×32＋…＋n×3n，① 则3Tn＝1×32＋2×33＋…＋n×3n＋1，② ②－①得，2Tn＝－3－32－33－…－3n＋n×3n＋1 n＋13?1－3n??2n－1?3＋3n＋1＝－＋n×3＝. 21－3n＋1?2n－1?3＋322所以a1c1＋a2c2＋…＋a2nc2n＝3n＋6Tn＝3n＋3×＝2?2n－1?3n＋2＋6n2＋9*(n∈N). 2
高考文科数学二轮专题复习讲义递推数列及数列求和的综合问题
