第十一章 曲线积分与曲面积分
第三节 Green公式及其应用
1．利用Green公式，计算下列曲线积分： (1>
，其中
为正向圆周
；
解：由Green公式，得
，
其中 (2>
为。
，其中为以及为顶点的三角形负向边界；
解：由Green公式，得
。
*(3> 从点
到点
，其中连成的弧
为
；
的上半圆周从点
到点
及
的上半圆周
解：连直线段AB，使L与围成的区域为D，由Green公式，得
*(4> ，其中为正向圆周.
解：因为，。作足够小的圆周:,取逆时针方向，记与围成
的闭区域为，由Green公式，得，故
23 / 9
2．计算下列对坐标的曲线积分：
，其中
为曲线
上由点
到点
的一段弧；
解：，，
故积分与路径无关，取经x轴到点的一条路径， 从而
原式=
。
*3．设函数具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线，有证明：
，记L围成的闭区域为D,由.
第四节 对面积的曲面积分
1．填空题： (1> 设
为球面
，则
；
(2> 面密度
的光滑曲面
的质量
.
2．计算下列对面积的曲面积分： (1> ，其中
为平面
在第一卦限的部分；
解：
，
，
(2> ，其中为的部分；
解：，
24 / 9
.
Green公式，得
*(3> ，其中
为
解：
， 其中
，
， ， 。
25 / 9
.
围成四面体的整个边界
第七节 Stokes公式 *环流量与旋度
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： (1> 解：取
为平面
，
为
面内圆周围成的部分，D为
在
逆时针方向；
面上的投影区域。 由Stokes公式，得
的下侧被
(2>
向看去是逆时针方向； 解：取
为平面
的上侧被
围成的部分，
的单位法向量
。 由Stokes公式，得
，
为平面
在第一卦限部分三角形的边界，从轴正
26 / 9
第十一章综合练习题
1．填空题： (1> 已知为椭圆
，其周长为，则
12a； (2>已知为直线上从点
到点
的直线段，则
1；(3>设
是以点
,,
为顶点的三角形正向边界，则0；
(4>曲线积分与路径无关，则可微函数应满足条件
*(5>设
为平面
在第一卦限的部分，取上侧，则
0.
2．求下列曲线积分： (1> ，其中
为球面
被平面
所截得的圆周；
解：在
的方程中，由于x, y, z循环对称，故
，于是
27 / 9
；
第十一章曲线积分与曲面积分习题答案
