平行四边形的存在性问题解题策略
专题攻略
解平行四边形的存在性问题一般分三步： 第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算．
难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快．
如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个交点．
如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况． 根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便． 根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对称，可以使得解题简便．
例题解析
例? 如图1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x－2x＋3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P，如果以点P、A、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．
图1-1
【解析】P、A、C三点是确定的，过△PAC的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3个符合条件的点D（如图1-2）．
由y＝－x－2x＋3＝－(x＋1)＋4，得A(－3,0)，C(0, 3)，P(－1, 4)． 由于A(－3,0) 右3，上3 右3，上3 uuuuuuuuuuuuuurC(0, 3)，所以P(－1, 4) uuuuuuuuuuuuuurD1(2, 7)． 由于C(0, 3) 下3u，左3下3u，左3uuuuuuuuuuu uurA(－3,0)，所以P(－1, 4) uuuuuuuuuuu uurD2(－4, 1)． 由于P(－1, 4) 右1，下1u 右1，下1u uuuuuuuuuuuurC(0, 3)，所以A(－3,0) uuuuuuuuuuuurD3(－2, －1)． 我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了．
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图1-2
例? 如图2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝－x+2x＋3与x轴交于A、B两点，点M在这条抛物线上，点P在y轴上，如果以点P、M、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标．
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图2-1
【解析】在P、M、A、B四个点中，A、B是确定的，以AB为分类标准．
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由y＝－x+2x＋3＝－(x＋1)(x－3)，得A(－1，0)，B(3，0)．
①如图2-2，当AB是平行四边形的对角线时，PM与AB互相平分，因此点M与点P关于AB的中点（1,0）对称，所以点M的横坐标为2．此时M(2，3)．
②如图2-3，图2-4，当AB是平行四边形的边时，PM//AB，PM＝AB＝4． 所以点M的横坐标为4或－4．所以M (4,－5)或(－4,－21)．
我们看到，因为点P的横坐标是确定的，在解图2-2时，根据对称性先确定了点M的横坐标；在解图2-3和图2-4时，根据平移先确定了点M的横坐标．
图2-2 图2-3 图2-4
例? 如图3-1，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在直线AB上，在平面直角坐标系中求一点D，使得以O、A、C、D为顶点的四边形是菱形．
图 3-1
【解析】由y＝－x＋4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°． 在O、A、C、D四个点中，O、A是确定的，以线段OA为分类标准．
如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于OA的对称点D- 2 -
的坐标为(2,－2)．
如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：
如图3-3，以O为圆心，OA为半径的圆与直线AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方形AOCD的顶点
D的坐标为(4, 4)．
如图3-4，以A为圆心，AO为半径的圆与直线AB有两个交点C(4?22,22)和C′(4?22,?22)，点C和C′向左平移4个单位得到点D(?22,22)和D′(22,?22)．
图3-2 图3-3 图3-4
例? 如图4-1，已知抛物线y?4216x?x与x轴的负半轴交于点C，点E的坐标为(0,－3)，点N33在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
图4-1
【解析】C(－4,0)、E(0,－3)两点是确定的，点N的横坐标－2也是确定的． 以CE为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：
①如图4-2，当CE为平行四边形的边时，由于C、E两点间的水平距离为4，所以M、N两点间的水平距离也为4，因此点M的横坐标为－6或2．
将x＝－6和x＝2分别代入抛物线的解析式，得M(－6,16)或(2, 16)． ②如图4-3，当CE为平行四边形的对角线时，M为抛物线的顶点，所以M(?2,?16)． 3- 3 -
中考数学压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题
