圆锥曲线的方程与性质
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数2a（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有|MF1|?|MF2|?2a。
x2y2y2x2椭圆的标准方程为：2?2?1（a?b?0）（焦点在x轴上）或2?2?1（a?b?0）（焦点在y轴
abab上）。
注：①以上方程中a,b的大小a?b?0，其中b?a?c；
222x2y2y2x222②在2?2?1和2?2?1两个方程中都有a?b?0的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y的分
ababx2y2??1（m?0，n?0，m?n）当m?n时表示焦点在x轴上的椭圆；当m?n时母的大小。例如椭圆
mn表示焦点在y轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
x2y2①范围：由标准方程2?2?1知|x|?a，|y|?b，说明椭圆位于直线x??a，y??b所围成的矩形里；
ab②对称性：在曲线方程里，若以?y代替y方程不变，所以若点(x,y)在曲线上时，点(x,?y)也在曲线上，所以曲线关于x轴对称，同理，以?x代替x方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以?x代替x，?y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令
x?0，得y??b，则B1(0,?b)，B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令y?0得x??a，即A1(?a,0)，
A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
|OB2|?b，|OF2|?c，|B2F2|?a，由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在Rt?OB2F2中，
222且|OF2|?|B2F2|?|OB2|，即c?a?b；
222④离心率：椭圆的焦距与长轴的比e?c叫椭圆的离心率。∵a?c?0，∴0?e?1，且e越接近1，c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a?b时，c?0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x?y?a。
2222．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（||PF1|?|PF2||?2a）。
注意：①式中是差的绝对值，在0?2a?|F1F2|条件下；|PF1|?|PF2|?2a时为双曲线的一支；
|PF2|?|PF1|?2a时为双曲线的另一支（含F1的一支）；②当2a?|F1F2|时，||PF1|?|PF2||?2a表示两条射
线；③当2a?|F1F2|时，||PF1|?|PF2||?2a不表示任何图形；④两定点F1,F2叫做双曲线的焦点，|F1F2|叫做焦距。
（2）双曲线的性质
x2y2①范围：从标准方程2?2?1，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线x??a的外侧。即
abx2?a2，x?a即双曲线在两条直线x??a的外侧。
x2y2②对称性：双曲线2?2?1关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点
abx2y2是双曲线2?2?1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
abx2y2③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2?2?1的方程里，对称轴是x,y轴，所
abx2y2以令y?0得x??a，因此双曲线和x轴有两个交点A(?a,0)A2(a,0)，他们是双曲线2?2?1的顶点。
ab令x?0，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个端点。
2）实轴：线段AA2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a,a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段BB2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b,b叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从
x2y2图上看，双曲线2?2?1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
ab⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a?b； 2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：y??x ；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征a?b，则等轴双曲线可以设为：x?y??(??0) ，当??0时交点在x轴，当??0时焦点在y轴上。
22x2y2y2x2??1与??1的区别：三个量a,b,c中a,b不同（互换）c相同，还有焦点所在的坐标⑥注意169916轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程y?2px2?p?0?叫做抛物线的标准方程。
pp,0），它的准线方程是x?? ；
22注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y??2px，x?2py，x??2py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如
222下表：
标准方程 y2?2pxl (p?0)y y2??2px(p?0) x2?2py(p?0)y x2??2py(p?0) y x o F 图形 焦点坐标 准线方程 范围 对称性 顶点 离心率 l x F o l F o x p(,0) 2px?? 2(?p,0) 2px? 2p(0,) 2py?? 2y?0 p(0,?) 2py? 2y?0 x?0 x轴 x?0 x轴 y轴 (0,0) y轴 (0,0) (0,0) (0,0) e?1 e?1 e?1 e?1 说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线的距离。
4. 高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0；点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点
?{
f1(x0,y0)?0f2(x0,y0)?0方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没
有交点。 二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
222
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)+(y-b)=r
222
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x+y=r
(2)一般方程：①当D+E-4F＞0时，一元二次方程x+y+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为(?是
D2?E2?4F。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+
22
2
2
2
2
2
DE,?)半径22D2E22)+(y+)=D22?E2-4F
4②当D+E-4F=0时，方程表示一个点(-2
2
DE,-); 22③当D+E-4F＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r?点M在圆C内，｜MC｜=r?点M在圆C上，｜MC｜＞r?点M在圆C内，其中｜MC｜=(x0-a)?(y0-b)。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交?有两个公共点；直线与圆相切?有一个公共点；直线与圆相离?没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d?与半径r的大小关系来判定。 三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之 比是一个常数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。 四、椭圆、双曲线、抛物线： 椭圆 1．到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a>|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0
e?c(0?e?1) ae?c(e?1) ae=1 ⑶等轴双曲线：双曲线x2?y2??a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y??x，离心率e?2.
x2y2⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.2?2??与
abx2y2x2y2????互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：2?2?0. a2b2ab⑸共渐近线的双曲线系方程：
x2a2?y2b2??(??0)的渐近线方程为
x2a2?y2b2?0如果双曲线的渐近线为
xy??0时，ab它的双曲线方程可设为【备注2】抛物线：
x2a2?y2b2??(??0).
pp2,0)，准线方程x=- ，开口向右；抛物线y=-2px(p>0)的焦点坐22pppp2标是(-,0)，准线方程x=，开口向左；抛物线x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,)，准线方程y=- ，开
2222（1）抛物线y=2px(p>0)的焦点坐标是(
2口向上；
pp），准线方程y=，开口向下. 22p22（2）抛物线y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离MF?x0?；抛物线y=-2px(p>0)上的点M(x0,y0)
2p与焦点F的距离MF??x0
2pp2（3）设抛物线的标准方程为y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准线的距离，焦点
22抛物线x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-2到准线的距离为p.
（4）已知过抛物线y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，
2p2p2p2yy??pxx?,AF?x?则弦长AB=x1?x2+p或AB?(α为直线AB的倾斜角)，，(AF1212142sin2?叫做焦半径). 五、坐标的变换：
（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.
（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平移，简称移轴。
（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x ′O′y′中的坐标是(x,y).设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 叫做平移(或移轴)公式.
（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：
方 程 焦 点 (±c+h,k) 焦 线 对称轴 x=h y=k x=h y=k ''x?x'?hy?y'?k或
x'?x?hy'?y?k
(x-h)2(y-k)2+=1 22ab椭圆 a2x=±+h ca2y=±+k c(x-h)2(y-k)2+ =1 22ba(h,±c+k) (x-h)2(y-k)2-=1 22ab双曲线 (±c+h,k) a2x=±+k ca2y=±+k cx=-x=h y=k x=h y=k (y-k)2(x-h)2-=1 22ab(y-k)=2p(x-h) 2(h,±c+h) (p+h,k) 2p+h,k) 2p+k) 2p+k) 2p+h 2y=k (y-k)=-2p(x-h) 抛物线 (x-h)=2p(y-k) 22(-x=p+h 2p+k 2y=k (h, y=-x=h (x-h)=-2p(y-k) 2(h,- y=p+k 2x=h 六、椭圆的常用结论： 1. 点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
2. PT平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3. 以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
x2y2xxyy5. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1上，则过P0的椭圆的切线方程是02?02?1.
ababx2y26. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1外，则过P0作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
abx0xy0y?2?1. a2bx2y27. 椭圆2?2?1 (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F 2，点P为椭圆上任意一点?F1PF2??，则椭圆的焦点
ab角形的面积为S?F1PF2?btan2?2.
x2y28. 椭圆2?2?1（a＞b＞0）的焦半径公式
ab|MF1|?a?ex0,|MF2|?a?ex0(F1(?c,0) ,F2(c,0)M(x0,y0)).
9. 设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交 P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
x2y2b211. AB是椭圆2?2?1的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则kOM?kAB??2，即
abaKABb2x0??2。
ay0x0xy0yx02y02x2y212. 若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2；
ababab【推论】：
x2y2x2y2x2y2x0xy0y1、若P0(x0,y0)在椭圆2?2?1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2。椭圆2?2?1abababab（a＞b＞o）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程
x2y2是2?2?1. abx2y22、过椭圆2?2?1 (a＞0, b＞0)上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直
ab线BC有定向且kBCb2x0?2（常数）. ay0x2y23、若P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??, ?PF2F1??，
ab则
a?c???tancot. a?c22x2y24、设椭圆2?2?1（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记
ab?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
sin??sin?ax2y25、若椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤2?1时，可在椭圆上
ab求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26、P为椭圆2?2?1（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则
ab2a?|AF2|?|PA|?|PF1|?2a?|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时，等号成立.
(x?x0)2(y?y0)2??1与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是7、椭圆22abA2a2?B2b2?(Ax0?By0?C)2.
x2y28、已知椭圆2?2?1（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP?OQ.（1）
ab4a2b2a2b2111122
???;（2）|OP|+|OQ|的最大值为2;（3）S?OPQ的最小值是2.
a?b2a?b2|OP|2|OQ|2a2b2x2y29、过椭圆2?2?1（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，
ab则
|PF|e?.
|MN|2x2y210、已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),
aba2?b2a2?b2?x0?则?. aax2y211、设P点是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
ab2b2?2(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?btan.
1?cos?2x2y212、设A、B是椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，?PAB??,
ab2ab2|cos?|?PBA??,?BPA??，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22.(2) 2a?ccos?tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?ax2y213、已知椭圆2?2?1（ a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、
abB两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论：
1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.
2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）
x2y2xxyy5、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上，则过P0的双曲线的切线方程是02?02?1.
ababx2y26、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）外 ，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦
abP1P2的直线方程是
x0xy0y?2?1. a2bx2y27、双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F 2，点P为双曲线上任意一点?F1PF2??，则双曲
ab线的焦点角形的面积为S?F1PF2?bcot2?2.
x2y28、双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(F1(?c,0) , F2(c,0)）当M(x0,y0)在右支上时，
ab|MF1|?ex0?a,|MF2|?ex0?a；当M(x0,y0)在左支上时，|MF1|??ex0?a,|MF2|??ex0?a。
9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交 P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP 和AQ分别交相应于
焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.
10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.
b2x0x2y211、AB是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M(x0,y0)为AB的中点，则KOM?KAB?2，
abay0即KABb2x0?2。 ay0x0xy0yx02y02x2y2在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是2?2?2?2.
ababab(0,y0)12、若P0xx2y2x2y2x0xy0y13、若P0(x0,y0)在双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是2?2?2?2.
ababab【推论】：
x2y21、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个顶点为A1(?a,0),A2(a,0)，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时
abx2y2A1P1与A2P2交点的轨迹方程是2?2?1.
abx2y22、过双曲线2?2?1（a＞0,b＞o）上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，
ab则直线BC有定向且kBCb2x0??2（常数）.
ay0x2y23、若P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点, ?PF1F2??,
ab?PF2F1??，则
c?a??c?a???tancot（或?tancot）. c?a22c?a22x2y24、设双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF1F2
ab中，记?F1PF2??, ?PF1F2??,?F1F2P??，则有
sin?c??e.
?(sin??sin?)ax2y25、若双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤2?1时，可在双
ab曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
x2y26、P为双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则
ab|AF2|?2a?|PA|?|PF1|,当且仅当A,F2,P三点共线且P和A,F2在y轴同侧时，等号成立.
x2y2222227、双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）与直线Ax?By?C?0有公共点的充要条件是Aa?Bb?C.
abx2y28、已知双曲线2?2?1（b＞a ＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OP?OQ.
ab4a2b2a2b2111122??2?2;（2）|OP|+|OQ|的最小值为2（1）;（3）S?OPQ的最小值是2. 222b?ab?a2|OP||OQ|abx2y29、过双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交
abx轴于P，则
|PF|e?.
|MN|2x2y210、已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0),
aba2?b2a2?b2则x0?或x0??.
aax2y211、设P点是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记?F1PF2??，则
ab2b2?2(1)|PF1||PF2|?.(2) S?PF1F2?bcot.
1?cos?2x2y212、设A、B是双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，?PAB??,
ab2ab2|cos?|. ?PBA??,?BPA??，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)|PA|?22|a?ccos2?|(2) tan?tan??1?e.(3) S?PAB22a2b2?2cot?. 2b?ax2y213、已知双曲线2?2?1（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相
ab交于A、B两点,点C在右准线l上，且BC?x轴，则直线AC经过线段EF 的中点.
14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论：
4ac?b2b①ay?by?c?x顶点(?).
4a2a2②y2?2px(p?0)则焦点半径PF?x?P;x2?2py(p?0)则焦点半径为PF?y?P.
22③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.
?x?2pt2?x?2pt④y?2px（或x?2py）的参数方程为?（或?）（t为参数）. 2y?2pty?2pt??22 y2?2px y2??2px x2?2py x2??2py ▲y▲y▲y▲y图形 OxxOxOxO pF(,0) 2p 2x?0,y?R x??x轴 p,0) 2p) 2 pF(0,?) 2p 2x?R,y?0 y? 焦点 准线 范围 对称轴 顶点 离心率 焦点 F(?F(0,p 2x?0,y?R x?p 2x?R,y?0 y??y轴 （0,0） e?1 PF?p?x1 2PF?p?x1 2PF?p?y1 2PF?p?y1 2圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线 标准方程 范围 对称性 顶点 焦点 椭圆 (x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 a>b>0 x∈[-a,a] y∈[-b,b] 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2-b^2】 双曲线 (x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 a>0,b>0 x∈(-∞,-a]∪[a,+∞) y∈R 关于x轴,y轴,原点对称 (a,0),(-a,0) (c,0),(-c,0) 【其中c^2=a^2+b^2】 x=±(a^2)/c 抛物线 y^2=2px p>0 x∈[0,+∞) y∈R 关于x轴对称 (0,0) (p/2,0) 准线 x=±(a^2)/c x=-p/2 渐近线 离心率 焦半径 —————————— e=c/a,e∈(0,1) ∣PF1∣=a+ex ∣PF2∣=a-ex y=±(b/a)x e=c/a,e∈(1,+∞) ∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣ p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·secθ y=b·tanθ,θ为参数 (x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1 ————— e=1 ∣PF∣=x+p/2 焦准距 通径 参数方程 p=(b^2)/c (2b^2)/a x=a·cosθ y=b·sinθ，θ为参数 p 2p x=2pt^2 y=2pt,t为参数 过圆锥曲线上一点 (x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1 (x0,y0)的切线方程 y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2] y0·y=p(x+x0) 斜率为k的切线方程
y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2] y=kx+p/2k
[整理版]完美版圆锥曲线知识点总结
