高考数学大二轮复习专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性
质限时规范训练理
1．(2024·咸阳二模)中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为( )
A.3 C.23
3
B．2 D.2
解析：中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的双曲线的两条渐近线互相垂直， ∴a＝b，
∴c＝a＋b＝2a， ∴e＝＝2， 故选D. 答案：D
2
2
ca?3?2．(2024·广元模拟)已知直线l过点?，2?且与x轴垂直，则以直线l为准线、顶点在?2?
原点的抛物线的方程是( )
A．y＝6x C．x＝6y
2
22
B．y＝－6x D．x＝－6y
2
2
解析：依题意，设抛物线的方程为：y＝－2px(p>0)， 3
∵准线方程为x＝，
2
p3∴＝， 22
∴p＝3，
∴抛物线的方程是y＝－6x. 故选B. 答案：B
2
y2
3．(2024·成都模拟)已知双曲线C：x－2＝1(b>0)的焦距为4，则双曲线C的渐近线方
b2
程为( )
A．y＝±15x
B．y＝±2x
C．y＝±3x
2
D．y＝±3x
y2
解析：双曲线C：x－2＝1(b>0)的焦距为4，则2c＝4，即c＝2，
b∵1＋b＝c＝4， ∴b＝3，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±3x， 故选D. 答案：D
4．(2024·邯郸一模)位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为5 m，跨径为12 m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为( )
2
2
A.25 m 12
25B. m 618D. m 5
2
9C. m 5
解析：设抛物线的解析式为：x＝－2py，p>0， 18
∵抛物线过(6，－5)，则36＝10p，可得p＝，
518
抛物线的焦点到准线的距离为. 5故选D. 答案：D
x2y2
5．(2024·浉河区校级月考)椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为
abA，若△AF1F2的面积为3，且∠F1AF2＝4∠AF1F2，则椭圆方程为( )
A.＋y＝1 3C.＋y＝1 4
x2x2
2
B.＋＝1 32D.＋＝1 43
x2y2x2y2
2
x2y2
解析：椭圆2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为A，
ab
若△AF1F2的面积为3，可得bc＝3，且∠F1AF2＝4∠AF1F2，∴∠AF1F2＝30°， ∴＝bc3
，解得b＝1，c＝3，所以a＝2， 3
则椭圆方程为：＋y＝1.
4故选C. 答案：C
x2
2
y2x2
6．(2024·潍坊一模)已知双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝2x，
ab则C的离心率为( )
A.5 5 2
B.5 5
C.
25D.
5
解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±，一条渐近线的方程为y＝2x，∴＝2，设b＝t，
ababa＝2t
则c＝t＋4t＝5t ∴离心率e＝＝故选C. 答案：C
7．(2024·安庆二模)直线l是抛物线x＝2y在点(－2,2)处的切线，点P是圆x－4x＋
2
2
2
2
ca5. 2
y2＝0上的动点，则点P到直线l的距离的最小值等于( )
A．0 65
－2 5
65B.
56D. 5
6
65＝.
55
C.
解析：y′＝x|x＝－2＝－2，∴l：y＝－2x－2，所以圆心(2,0)到l的距离是65
所以最小值是－2.
5故选C. 答案：C
8．(2024·烟台一模)已知圆锥曲线C1：mx＋ny＝1(n>m>0)与C2：px－qy＝1(p>0)的公共焦点为F1，F2.点M为C1，C2的一个公共点，且满足∠F1MF2＝90°，若圆锥曲线C1的离心率
2222
3
为，则C2的离心率为( ) 4
9A. 23C. 2
解析：C1：＋＝1，C2：－＝1.
1111
32
B.
25D. 4
x2y2mnx2y2pq设a1＝
1
，a2＝
m1
，MF1＝s，MF2＝t，
p由椭圆的定义可得s＋t＝2a1， 由双曲线的定义可得s－t＝2a2， 解得s＝a1＋a2，t＝a1－a2，
由∠F1MF2＝90°，运用勾股定理，可得s＋t＝4c， 即为a1＋a2＝2c，
11
由离心率的公式可得，2＋2＝2，
2
2
2
2
2
2
e1e2
39322
∵e1＝，∴e2＝，则e2＝.
422故选B. 答案：B
9．已知M是抛物线C：y＝2px上的任意一点，以M为圆心的圆与直线x＝－1相切且经过点N(1,0)，设斜率为1的直线与抛物线C交于P，Q两点，则线段PQ的中点的纵坐标为( )
A．2 C．6
解析：设M(x0，y0)，
∵以M为圆心的圆与直线x＝－1相切且经过点N(1,0)，∴x0＋1＝?x0－1?＋y0， 又y0＝2px0.∴p＝2. 即可得抛物线方程为y＝4x.
??y＝x＋b由?2
?y＝4x?
2
2
2
2
2
B．4 D．8
?y－4y＋4b＝0.
2
y1＋y2＝4，
∴线段PQ的中点的纵坐标为故选A.
y1＋y2
2
＝2.
答案：A
10．已知抛物线C1：x＝2py(p>0)的焦点为F1，抛物线C2：y＝(4p＋2)x的焦点为F2，点
2
2
P?x0，?在C1上，且|PF1|＝，则直线F1F2的斜率为( )
2
??
1?
?
34
1A．－
21C．－
3
2
1B．－
41D．－
5
解析：因为抛物线C1：x＝2py(p>0)的焦点为F1?0，?，准线方程为y＝－，
2?2?31p31
|PF1|＝，由抛物线的定义可得＋＝，解得p＝，
42242
?
p?
p?1?22
可得C1：x＝y，C2：y＝4x，F1?0，?，F2(1,0)，
?4?
141
所以直线F1F2的斜率为＝－.
0－14故选B. 答案：B
11.如图所示，A1，A2是椭圆C：＋＝1的短轴端点，点M在
94椭圆上运动，且点M不与A1，A2重合，点N满足NA1⊥MA1，NA2⊥MA2，则
x2y2
S△MA1A2
＝( )
S△NA1A2
3A. 29C. 4
解析：由题意以及选项的值可知：
2B. 34D. 9
S△MA1A2
是常数，
S△NA1A2
取M为椭圆的左顶点，由椭圆的性质可知N在x的正半轴上，如图：
则A1(0,2)，A2是(0，－2)，M(－3,0)， 由OM·ON＝OA1， 4
可得ON＝，
3
2
高考数学大二轮复习专题五解析几何第二讲圆锥曲线的方程与性质限时规范训练理
