20.已知抛物线C:y＝2px?p?0?的焦点F，直线y?4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为
2Q，且QF＝2PQ.
(1)求p的值；
(2)已知点T?t,?2?为C上一点，M，N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为?8，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标． 3【答案】（1）4；（2）证明过程详见解析；直线MN恒过定点??1,?1?. 【解析】 【分析】
（1）设Q点坐标，根据抛物线的定义得到Q点横坐标，然后代入抛物线方程，得到p的值；（2）
M?x1,y1?，N?x2,y2?，直线和曲线联立，得到y1?y2,y1y2，然后表示出kMT?kNT，化简整理，
得到m和n的关系，从而得到直线MN恒过的定点. 【详解】(1)设Q?x0,4?，由抛物线定义知QF?x0?又QF＝2PQ，PQ?x0 所以2x0?x0?将点Q?p， 2pp，解得x0?， 22?p?,4?代入抛物线方程，解得p?4. 2??2?1?(2)由(1)知，C的方程为y?8x，所以点T坐标为?,?2?，
?2?设直线MN的方程为x?my?n， 点M?x1,y1?，N?x2,y2?，
?x?my?n2由?2 得y?8my?8n?0，??64m2?32n?0. ?y?8x所以y1?y2?8m，y1y2??8n，
所以
kMT?kNT?y1?2y2?2y?2y2?2??1?11y121y221 x1?x2???228282
??（8y1?y2）?3288?? y1?2y2?2y1y2?2?y1?y2??464m?328??
?8n?16m?43解得n?m?1
所以直线MN的方程为x?1?m(y?1)，恒过定点??1,?1?．
【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与抛物线相交，直线过定点问题，属于中档题.
21.已知f?x??lnx?ax?1?a?R? (1)讨论函数的单调性;
(2)证明:当a?2，且x?1时，f?x??e【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】
分析：(1) 求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可； （2）由（1）可知当a?2时，f?x?在1,???上单调减，f?x??f?1???1 再令G?x??e详解： （1）
f?x??lnx?ax?1,a?R， ?g??x??x?1x?1?2恒成立.
??2，证明G?x??G?1???1，即可得到所要证明的结论.
1?ax?1?a? xx当a?0时，f?x?的增区间?0,???，无减区间 当a?0时，增区间?0,??1??1?，减区间??,??? a??a?（2）当x?1,??? 由（1）可知当a?2时，f?x?在1,???上单调减，f?x??f?1???1 再令G?x??ex?1???2
x?1在x?1,???上， G??x??e??0， G?x?递增，所以G?x??G?1???1
所以G?x??f?x?恒成立，当x?1时取等号， 所以，原不等式恒成立.
点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，是一道
中档题． 选考题
22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线
?x?2t2(t为参数)，曲线C的极坐标方程为?cos??8sin?. l的参数方程为??y?2?t(1)求曲线C的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； (2)若直线l与曲线C的交点分别为M，N，求MN.
【答案】（1）曲线C方程为x?8y，表示焦点坐标为?0,2?，对称轴为y轴的抛物线；（2）10.
2【解析】 【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标的转化??x??cos?，将曲线C的方程化为直角坐标方程；（2）把直线l?y??sin??x?2t的参数方程为?，化为一般方程，然后与C联立，利用弦长公式，得到MN.
y?2?t?2【详解】解 (1)因为?cos??8sin?，所以?cos??8?sin?，即x?8y，
222所以曲线C表示焦点坐标为?0,2?，对称轴为y轴的抛物线． (2)设点M?x1,y1?，点N?x2,y2?
?x?2t10,2直线l过抛物线的焦点?则直线参数方程为?化为一般方程为y?x?2，代入曲线C?，
y?2?t2?的直角坐标方程，得x2?4x?16?0， 所以x1?x2?4,x1x2??16 所以MN??x1?x2?22??y1?y2??1?k22?x1?x2?2
?1?k2?x1?x2?2?4x1x2 ?1??1????2??4?2?4???16??10
【点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单
题.
23.已知函数f(x)?2x?a?5x，其中实数a?0. （1）当a?3时，求不等式f(x)?5x?1的解集； （2）若不等式f(x)?0的解集为?x|x??1?，求a的值.
【答案】(1)不等式f(x)?5x?1的解集为x|x?1或x?2;(2)a?3 【解析】
试题分析：（1）将a?3代入f(x)?5x?1得一绝对值不等式：2x?3?1，解此不等式即可. （2）含绝对值不等式，一般都去掉绝对值符号求解。本题有以下三种考虑：
思路一、根据2x?a的符号去绝对值.2x?a?0时，2x?a?2x?a，所以原不等式转化为
??2x?a?5x?0；2x?a?0时，2x?a??2x?a，所以原不等式转化为?2x?a?5x?0
思路二、利用f(x)?g(x)??g(x)?f(x)?g(x)去绝对值.2x?a??5x,此不等式化等价于
5x?2x?a??5x.
思路三、从不等式与方程的关系的角度突破.本题是含等号的不等式，所以可取等号从方程入手. 试题解析：（1）当a?3时，f(x)?5x?1可化为2x?3?1，由此可得x?1或x?2 故不等式f(x)?5x?1的解集为x|x?1或x?25分 （2）法一：（从去绝对值的角度考虑）
aax?22由f?x??0,得2x?a??5x,此不等式化等价于{或{ 2x?a?5x?0?(2x?a)?5x?0x?aax?22解之得{或{,
aax?x??73x?的????a?3?
因为a?0,所以不等式组的解集为?x|x???,由题设可得?法二：（从等价转化角度考虑）
a??1,故a?310分 3由f?x??0,得2x?a??5x,此不等式化等价于5x?2x?a??5x,
5x?2x?a即为不等式组{,解得{2x?a??5xx??ax?7a3,
因为a?0,所以不等式组的解集为?x|x???,由题设可得?法三：（从不等式与方程的关系角度突破）
??a?3?a??1,故a?310分 3因为?x|x??1?是不等式f?x??0的解集，所以x??1是方程f?x??0的根， 把x??1代入2x?a?5x?0得a?3或a??7,因为a?0，所以a?310分 考点：1、绝对值的意义；2、含绝对值不等式的解法；3、含参数不等式的解法
黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟数学(文)试题 含解析
