16.给出下列四个命题：
①如果平面?外一条直线a与平面?内一条直线b平行，那么a?； ②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；
③如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直； ④若两个相交平面都垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面． 其中真命题的序号为______． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】
对四个命题分别进行研究，通过线面平行，线面垂直的判定与性质，判断出正确答案. 【详解】命题①是线面平行的判定定理，正确；
命题②因为垂直同一平面两条直线平行，所以空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；
命题③平面内无数条直线均平行时，不能得出直线与这个平面垂直，故不正确；
命题④因为两个相交平面都垂直于第三个平面，所以在两个相交平面内各取一条直线垂直于第三个平面，可得这两条直线平行，则其中一条直线平行于另一条直线所在的平面，可得这条直线平行于这两个相交平面的交线，从而交线垂直于第三个平面，故正确. 因此，答案为①②④
【点睛】本题考查线面平行，线面垂直的判定与性质，属于简单题.
三．解答题：共70分
217.已知等差数列?an?满足(n?1)an?2n?n?k,k?R.
（1）求数列?an?的通项公式；
4n2（2）设bn?，求数列?bn?的前n项和Sn.
anan?1的
2n2?2n【答案】（1）an?2n?1；（2）
2n?1【解析】
分析：（1）已知数列是等差数列，因此由已知先求出a1,a2,a3，利用a1,a2,a3成等差数列求出参数k，
从而可得数列的通项公式； （2）把bn变形为bn?1?111(?)，从而用分组求和与裂项相消求和法求得其前n项和． 22n?12n?12详解：（1）（法一）由?n?1?an?2n?n?k，令n?1,2,3， 得到a1?3?k10?k21?k,a2?,a3? 23420?2k3?k21?k?? 324∵?an?是等差数列，则2a2?a1?a3，即解得：k??1
由于?n?1?an?2n?n?1??2n?1??n?1?
2∵n?1?0，∴an?2n?1
（法二）∵?an?是等差数列，公差为d，设an?a1?d?n?1??dn??a1?d? ∴?n?1?an??n?1??dn?a1?d??dn?a1n?a1?d
222∴dn?a1n?a1?d?2n?n?k对于?n?N*均成立
?d?2?
则?a1?1，解得k??1，an?2n?1 ?a?d?k?1
4n24n24n21??2?1?2（2）由bn? anan?1?2n?1??2n?1?4n?14n?1?1?
1?11??????1
?2n?1??2n?1?2?2n?12n?1?1?1?11111?1??????2?33557?11?1?1???n?1?????n 2n?12n?1?2?2n?1?n2n2?2n ??n?2n?12n?1点睛：设数列{an}是等差数列，?bn?是等比数列，则数列?an?bn?，{anbn}，{求法分别为分组求和法，错位相减法，裂项相消法．
18.海水养殖场使用网箱养殖的方法，收获时随机抽取了 100个网箱，测量各箱水产品的产量(单
1}的前n项和anan?1
位:kg)，其产量都属于区间?25,50?，按如下形式分成5组，第一组：?25,30?，第二组：?30,35?，第三组：?35,40?，第四组：?40,45?，第五组：?45,50?，得到频率分布直方图如图：
定义箱产量在?25,30?(单位:kg)的网箱为“低产网箱”， 箱产量在区间?45,50?的网箱为“高产网箱”.
（1）若同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，试计算样本中的100个网箱的产量的平均数；
（2）按照分层抽样的方法，从这100个样本中抽取25个网箱，试计算各组中抽取的网箱数； （3）若在（2）抽取到的“低产网箱”及“高产网箱”中再抽取2箱，记其产量分别m,n，求m?n?10的概率.
【答案】（1）37.5（2）3,5,8,7,2.（3）【解析】
分析：（1）根据组中值与对应区间概率乘积的和计算平均数，（2）按照分层抽样，应抽数按各箱数的比例分配，（3）先确定5箱中要抽取2箱的总事件数，再确定m?n?10的含义为高低产箱中各取一箱，以及对应事件数，最后根据古典概型概率公式求概率. 详解：
解： （1）样本中的100个网箱的产量的平均数
3 5x??27.5?0.024?32.5?0.040?37.5?0.064?42.5?0.056?47.5?0.016??5?37.5
（2）各组网箱数分别为：12,20,32,28,8，
要在此100 箱中抽25箱，所以分层抽样各组应抽数为：3,5,8,7,2.
（3）由（2）知低产箱3箱和高产箱2箱共5箱中要抽取2箱，设低产箱中三箱编号为1,2,3，高产箱中两箱编号为4,5，则一共有抽法10种，样本空间为
??1,2?,?1,3?,?1,4?,?1,5?,?2,3?,?2,4?,?2,5?,?3,4?,?3,5?,?4,5??
满足条件|m-n|>10情况为高低产箱中各取一箱，基本事件为
??1,4?,?1,5?,?2,4?,?2,5?,?3,4?,?3,5??共6种，
所以满足事件A：|m-n|>10的概率为P?A??点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 (1)列举法.
(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.
(3)列表法：适用于多元素基本事件求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化. (4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.
19.如图，在四棱锥P?ABCD中，平面PAB?平面ABCD，PB?PA，PB?PA，
?DAB??ABC?90?，AD∥BC，AB?8，BC?6，CD?10，M是PA的中点．
(1)求证：BM∥平面PCD；
(2)求三棱锥B?CDM的体积．
【答案】（1）详见解析；（2）16. 【解析】 【分析】
的的63? 105
（1）取PD中点N，证明BMNC为平行四边形，得到BMNC，从而得到BM∥平面PCD；（2）
对三棱锥B?CDM进行等体积转化，转化为求M?BCD的体积.过M作AB的垂线，垂足为M?，证明MM?为三棱锥M?BCD的高并求出求出其长度，求出BCD的面积，得到三棱锥M?BCD的体积，即三棱锥B?CDM的体积.
【详解】(1)证明:取PD中点N，连接MN，NC，作CH?AD,
则CH?AB?8,CD?10,?DH?6,易知ABCH为平行四边形，有AH?BC?6.
QMN为△PAD的中位线，
?MN//AD，且MN=又
BC1AD. 21AD，且BC?AD，
2?MN//BC，且MN?BC，则BMNC为平行四边形，
?BM//NC，又NC?平面PCD，MB?平面PCD，
?BM//平面PCD.
(2)解:过M作AB的垂线，垂足为M?，取AB中点P?，连结PP? 又
平面PAB?平面ABCD，平面PAB平面ABCD?AB，MM??平面PAB，?MM??平
面ABCD.
?MM?为三棱锥M?BCD的高，
PA?PB,P?为AB中点，?PP??AB AB?8，?BPA?90?，
?PAB为等腰直角三角形，PP??4，
平面PAB?平面ABCD，平面PAB平面ABCD?AB，PP??平面PAB，?PP??平面
ABCD.
?MM?//PP? M为PA的中点，
?MM??1PP??2， 2过C作CH?AD交AD于点H，
?AB//CH
BCAD?ABCH为平行四边形
?CH?AB?8，
11??BC?CH??6?8?24， BCD2211?VB－CDM?VM－BCD?SBCD?MM???24?2=16.
33S
【点睛】本题考查通过线线平行证明线面平行，通过面面垂直证明线面垂直，变换顶点和底面进行等体积转化，求三棱锥的体积，属于中档题.
黑龙江省大庆市第一中学2024届高三下学期第四次模拟数学(文)试题 含解析
