向量组的线性相关性的判定

向量组的线性相关性的判定

摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件.

关键词：向量组；线性相关；行列式

引言

向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.

向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子.

本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.

1.向量组线性相关性的相关定义及性质

定义1.1[1] 定义在P上的线性空间V，对于给定的一组向量x1,x2,L,xn,如果存在n个不全为0的数?1,?2,L,?n，使得

?1x1??2x2?L??nxn?0.

那么称x1,x2,L,xn是线性相关的.否则称x1,x2,L,xn是线性无关的.

性质1.1 若x1,x2,L,xn线性相关，则其中至少有一个向量可由其余n?1个向量线性表示.

证明 ?)若这n个向量线性相关，那么

?1x1??2x2?L??nxn?0，

其中?i不全为0，不妨设?i?0，那么可解得

xi??

??1x1?L?nxn.?i?i

所以该结论是成立的.

?)如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这n个向量是线性相关

的.这是因为如果设

xi?k1x1?k2x2?Lki?1xi?1?ki?1xi?1?L?knxn，

那么移项得

k1x1?k2x2?L?ki?1xi?1?ki?1xi?1?L?knxn?(?xi)?0.

显然，xi的系数为-1，那么由线性相关的定义知，这n个向量是线性相关的.

性质1.2 含有零向量的向量组必是线性相关的.

性质1.3 单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量.

?1,?2,L,?n,?线性相关，性质1.4 若向量组?1,?2,L,?n线性无关，那么?可由?1,?2,L,?n线性表示.

性质1.5 如果向量组?1,?2,L,?m的部分组

12m

?k,?k,L,?k(kj?{1,2,L,n})

线性相关，那么?1,?2,L,?n也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线性相关.

向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的.反之，它们是线性无关的.

2.向量组线性相关性的判定方法

2.1 定义法

定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法.对给定的n个向量

x1,x2,L,xn，只需令

?1x1??2x2?L??nxn?0.

根据题中的条件去求?1,?2,L,?n即可.

x1,x2,L,xn是线性相关的.当?1,?2,L,?n全为0时，当?1,?2,L,?n不全为0时，x1,x2,L,xn是线性无关的.

例1 设?1,?2,?3线性无关，证明?1??2,?2??3,?3??1也线性无关.

证明 设对于任意的k1,k2,k3，有

k1(?1??2)?k2(?2??3)?k3(?3??1)?0.

整理得

(k1?k3)?1?(k1?k2)?2?(k2?k3)?3?0.

由于?1,?2,?3线性无关，得

?k1?k3?0,??k1?k2?0, ?k?k?0.?23解得

?k1?0,??k2?0, ?k?0.?3所以?1??2,?2??3,?3??1也线性无关.