第三节 圆 的 方 程
考点一
求圆的方程
[例1] (1)经过点A(5,2)，B(3，－2)，且圆心在直线2x－y－3＝0上的圆的方程为________________．
(2)(2013·江西高考)若圆C经过坐标原点和点(4,0)，且与直线y＝1相切，则圆C的方程是________________．
[自主解答] (1)法一：由题知kAB＝2，A，B的中点为(4,0)，设圆心为C(a，b)． ∵圆过A(5,2)，B(3，－2)两点，∴圆心一定在线段AB的垂直平分线上．
b1???a－4＝－2，?a＝2，则?解得?∴C(2,1)，r＝|CA|＝?5－2?2＋?2－1?2＝10.
?b＝1.???2a－b－3＝0，
∴所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10. 法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2a－b－3＝0，??
则??5－a?2＋?2－b?2＝r2，???3－a?2＋?－2－b?2＝r2，
?a＝2，
?
解得?b＝1，
??r＝10，
故圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝10.
法三：设圆的方程为
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)， 25＋4＋5D＋2E＋F＝0，??9＋4＋3D－2E＋F＝0，则?
?－D?＋E－3＝0，2×???2?2
解得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.
325
(2)由已知可设圆心为(2，b)，由22＋b2＝(1－b)2＝r2，得b＝－，r2＝.
24
325y＋?2＝. 故圆C的方程为(x－2)2＋??2?4
325
y＋?2＝ [答案] (1)x2＋y2－4x－2y－5＝0(或(x－2)2＋(y－1)2＝10) (2)(x－2)2＋??2?4
【互动探究】
本例(2)中“与直线y＝1相切”改为“圆心在y＝1上”，结果如何？ 解：∵圆过点O(0,0)和点(4,0)．∴圆心在直线x＝2上，
又∵圆心在y＝1上，∴圆心的坐标为(2,1)，半径r＝?2－0?2＋?1－0?2＝5. 因此，圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5. 【方法规律】
求圆的方程的两种方法
(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．
(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值．
求下列圆的方程：
(1)圆心在直线y＝－4x上，且与直线l：x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)； (2)过三点A(1,12)，B(7,10)，C(－9,2)．
解：(1)法一：设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， b＝－4a，???3－a?＋?－2－b?＝r，则有?
|a＋b－1|??2＝r，
2
2
2
解得a＝1，b＝－4，r＝22.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：过切点且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3.
与y＝－4x联立可得圆心为(1，－4)，所以半径r＝?1－3?2＋?－4＋2?2＝22. 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)法一：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． 1＋144＋D＋12E＋F＝0，??
则?49＋100＋7D＋10E＋F＝0，??81＋4－9D＋2E＋F＝0，
解得D＝－2，E＝－4，F＝－95，
所以所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y－95＝0.
法二：由A(1,12)，B(7,10)，得AB的中点坐标为(4,11)，
1
kAB＝－，则AB的中垂线方程为3x－y－1＝0.
3
同理得AC的中垂线方程为x＋y－3＝0.
???3x－y－1＝0，?x＝1，?联立得? ?x＋y－3＝0，?y＝2，??
即圆心坐标为(1,2)，半径r＝?1－1?2＋?2－12?2＝10， 所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝100.
考点二 与圆有关的轨迹问题
[例2] (2013·新课标全国卷Ⅰ)已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程；
(2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
[自主解答] 由已知得圆M的圆心为M(－1,0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1,0)，半径r2＝3.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|＋|PN|＝(R＋r1)＋(r2－R)＝r1＋r2
＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的
x2y2
椭圆(左顶点除外)，其方程为＋＝1(x≠－2)．
43
(2)对于曲线C上任意一点P(x，y)，
由于|PM|－|PN|＝2R－2≤2，所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为(2,0)时，R＝2. 所以当圆P的半径最长时，其方程为(x－2)2＋y2＝4.若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|＝23.若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点
|QP|R
为Q，则＝，可求得Q(－4,0)，所以可设l：y＝k(x＋4)．
|QM|r1
|3k|2
由l与圆M相切得＝1，解得k＝±.
41＋k2
22x2y2
当k＝时，将y＝x＋2代入＋＝1，并整理得7x2＋8x－8＝0，
4443
－4＋62－4－6218
解得x1＝，x2＝.所以|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝. 77721818
当k＝－时，由图形的对称性可知|AB|＝.综上，|AB|＝23或|AB|＝.
477
【方法规律】
求与圆有关的轨迹方程的方法
已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)，求： (1)直角顶点C的轨迹方程；
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解：(1)法一：设顶点C(x，y)，因为AC⊥BC，所以x≠3且x≠－1.
yyyy
又kAC＝，kBC＝，且kAC·kBC＝－1，所以·＝－1，即x2＋y2－2x－3＝
x＋1x－3x＋1x－30.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(x≠3且x≠－1)．
1
2
|AB|＝2，由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
法二：设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知，|CD|＝
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)．
(2)设点M(x，y)，点C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x0＋3y0＋0x＝(x≠3且x≠1)，y＝，于是有x0＝2x－3，y0＝2y.
22
由(1)知，点C在圆(x－1)2＋y2＝4(x≠3且x≠－1)上运动，将x0＝2x－3，y0＝2y代入该方程得(2x－4)2＋(2y)2＝4，即(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1)．
因此动点M的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3且x≠1). 高频考点 考点三 与圆有关的最值问题
1．与圆有关的最值问题，是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题、中档题．
2．高考中主要有以下几个命题角度： (1)与圆有关的长度或距离的最值问题；
(2)与圆上的点(x，y)有关的代数式的最值问题．
y－b
例如，形如u＝型；形如t＝ax＋by型；形如(x－a)2＋(y－b)2型．
x－a
[例3] (1)(2013·重庆高考)已知圆C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1，圆C2：(x－3)2＋(y－4)2＝9，M，N分别是圆C1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|＋|PN|的最小值为( )
A．52－4 B.17－1 C．6－22 D.17 (2)(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．
[自主解答] (1)圆C1，C2的图象如图所示．
高考数学理一轮突破热点题型第8章第3节圆的方程
