1.4充要条件与必要条件
教学目标
理解命题间的三种关系（充分，必要，充要） 教学难点
判断命题间的关系 基础知识
(1)如果p?q，则p是q的充分条件；q是p的必要条件 ①A是B的充分不必要条件是指：A?B且B②A的充分不必要条件是B是指：B?A且A(2)如果q?p，则p是q的必要条件；
(3)如果既有p?q，又有q?p，记作p?q，则p是q的充要条件． (4)若p?/q，q?/p，则p是q的既不充分也不必要条件.
充要关系与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
①若A?B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
②若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． ③若A＝B，则p是q的充要条件． 技巧：小范围推出大范围 经典例题
例题1判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.( ) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( ) (3)x＞a2＋b2(a＞0，b＞0)是x＞2ab的充分条件.( ) 【答案】 (1)√ (2)× (3)√
例题2已知p：x＋y≠－2，q：x，y不都是－1，则p是q的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A；
B，在解题中要弄清它们的区别，以免出现错误．
解析：因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，所以非p：x＋y＝－2，非q：x＝－1且y＝－1，因为非q?非p但非p [答案]A
1
非q，所以非q是非p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．
例题3已知x∈R，则“x<1”是“x2<1”的( )
A．充分不必要条件 C．充要条件
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
解析：若x2<1，则－1 例题4已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0. xy 1111y－x 【证明】 (1)必要性：由<，得－<0，即<0，又由x>y，得y－x<0，所以xy>0. xyxyxyxy1111 (2)充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.综上所述，<的充要条件是xy>0. xyxyxyxy 例题5已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，则m的取值范围是________． [解析] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}， ?1－m≤1＋m， 由x∈P是x∈S的必要条件，知S?P.则?1－m≥－2， ?1＋m≤10， [题组训练] 所以0≤m≤3. 所以当0≤m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]． 1.钱大妈chang说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（ ） A．充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要 解析A 2.[等价转化法]“xy≠1”是“x≠1或y≠1”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 解析：选A 3.若p：x(x－3)<0是q：2x－3 m＋3m＋3 ，由题意知p?q，∴≥2，∴m≥3.【答案】 m≥3 22 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 4.设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( ) A.充分条件 B.必要条件 C.必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD.当四边形ABCD中AC⊥BD时， 2 四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分.综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件.【答案】 A 5.实数a，b中至少有一个不为零的充要条件是( ) A.ab＝0 B.ab＞0 C.a2＋b2＝0 D.a2＋b2＞0 6.若P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．使x∈P是x∈S的充要条件． 解：若x∈P是x∈S的充要条件，则P＝S，所以{1－m＝－2，即不存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件． 7.是否存在实数p，使4x＋p＜0是x2－x－2＞0的充分条件？如果存在，求出p的取值范围；否则，说明理由. 解析： 由x2－x－2＞0，解得x＞2或x＜－1， 令A＝{x|x＞2或x＜－1}，由4x＋p＜0，得 ?p???? B＝ ?x?x＜－? 4????? ＋m＝10， 解得{m＝3，m＝9， ， pp 当B?A时，即－≤－1，即p≥4，此时x＜－≤－1?x2－x－2＞0， 44∴当p≥4时，4x＋p＜0是x2－x－2＞0的充分条件. 3
2019新版必修一同步教案1.4充分条件与必要条件
