第一章 1.3 1.3.2
A级 基础巩固
一、选择题 1．若(3x－
1n
)的展开式中各项系数之和为256，则展开式的常数项是x导学号 51124255( C )
A．第3项 C．第5项
[解析] 令x＝1，得出(3x－∴(3x－
B．第4项 D．第6项
1n
)的展开式中各项系数和为(3－1)n＝256，解得n＝8； x
18
)的展开式通项公式为： x
－
Tr＋1＝Cr(3x)8r·(－8·
1r－－
)＝(－1)r·38r·Crx4r， 8·x
令4－r＝0，解得r＝4.
∴展开式的常数项是Tr＋1＝T5，即第5项．故选C．
1n1n
2．若9n＋Cn9n1＋…＋Cn9＋Cn＋1·＋1·＋1是11的倍数，则自然数n为导学号 51124256
－
－
( A )
A．奇数 C．3的倍数
1[解析] 9n＋C19n1＋…＋Cn9＋Cnn＋1·n＋1·n＋1
－
－
B．偶数
D．被3除余1的数
1＋1nn－12nn＋1＝(9n1＋C19＋…＋C9＋C9＋C)－ ＋＋＋＋n1n1n1n1
99111＋＋
＝(9＋1)n1－＝(10n1－1)是11的倍数， 999∴n＋1为偶数，∴n为奇数．
13．(2024·潍坊市五校联考)已知(x2－)n的展开式中，常数项为15，则n的值可以为
x导学号 51124257( D )
A．3 C．5 [解析] 通项
x
B．4 D．6
1r2n－r2n－3r
Tr＋1＝Cr(x)(－)＝(－1)rCr，当nnx
2
2
r＝n时为常数项，即(－1)3 n
3
＝15，经检验n＝6.
1
4．若a为正实数，且(ax－)2024的展开式中各项系数的和为1，则该展开式第2024项
x为导学号 51124258( D )
1A．2016 x4032C．2014
x
1
B．－2016
x4032D．－2014
x
[解析]由条件知，(a－1)2024＝1，∴a－1＝±1， ∵a为正实数，∴a＝2. ∴展开式的第2024项为： 12024T2024＝C2015·(2x)·(－) 2016
x＝－2C1x2016·
－2024
＝－4032x
－2024
，故选D．
a1
5．若二项式(2x＋)7的展开式中3的系数是84，则实数a＝导学号 51124259( C )
xxA．2 C．1
5B．4 D．
2 4
a7－rar7－rr7－2r
[解析] 二项式(2x＋)7的通项公式为Tr＋1＝Cr(2x)()＝Crax，令7－2r＝－3，772xx125
得r＝5.故展开式中3的系数是C572a＝84，解得a＝1. x
6．(2024·南安高二检测)233除以9的余数是导学号 51124260( A ) A．8 C．2
B．4 D．1
1029101019
[解析] 233＝(23)11＝(9－1)11＝911－C1119＋C119＋…＋C119－1＝9(9－C119＋…＋10
C11－1)＋8，
∴233除以9的余数是8.故选A． 二、填空题
1
x2＋3?n展开式的各项系数之和为32，则n＝__5__，其展开式中的常数项为7．若?x??__10__(用数字作答).导学号 51124261
－?1?rr10－5r
3＝C5·[解析] 令x＝1，得2n＝32，得n＝5，则Tr＋1＝Cr(x2)5r·x，令10－5r5·?x?
＝0，r＝2.故常数项为T3＝10.
a
8．已知(x－)8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和
x
是__1或38__.导学号 51124262
a8－r
[解析] Tr＋1＝Cr(－)r 8xx＝(－a)r·Crx88·
－2r
，令8－2r＝0得r＝4，
由条件知，a4C42， 8＝1120，∴a＝±令x＝1得展开式各项系数的和为1或38.
3
9．在二项式(x＋)n的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A
x＋B＝72，则n＝__3__.导学号 51124263
[解析] 由题意可知，B＝2n，A＝4n，由A＋B＝72，得4n＋2n＝72，∴2n＝8，∴n＝3. 三、解答题
10．设(1－2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024(x∈R).导学号 51124264 (1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2024的值； (2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2024的值； (3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2024|的值． [解析] (1)令x＝1，得：
a0＋a1＋a2＋…＋a2024＝(－1)2024＝－1①
(2)令x＝－1，得：a0－a1＋a2－…－a2024＝32024② ①－②得：
2(a1＋a3＋…＋a2024＋a2024)＝－1－32024， 1＋32017
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2024＝－.
2(3)∵Tr＋1＝Cr12024r·(－2x)r 2017·
－
＝(－1)r·Cr(2x)r， 2017·
∴a2k－1<0(k∈N*)，a2k>0(k∈N*)． ∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2024| ＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2024－a2024 ＝32024.
B级 素养提升
一、选择题
1．若n为正奇数，则7n＋C17nn·导学号 51124265( C )
A．0 C．7
B．2 D．8
－1
＋C27nn·
－2
1
＋…＋Cn7被9除所得的余数是n·
－
nnn1n11
[解析] 原式＝(7＋1)n－Cn9＋C29n2－…＋Cn9(－n＝8－1＝(9－1)－1＝9－Cn·n·n·
－
－
－
1)n1＋(－1)n－1，n为正奇数，(－1)n－1＝－2＝－9＋7，则余数为7.
－
2．(2024·上饶市高二检测)设函数f(x)＝(2x＋a)n，其中n＝6则f(x)的展开式中x4的系数为导学号 51124266( B )
A．－240 C．－60
π
f′?0?
cosxdx，＝－12，
f?0?
B．240 D．60
[解析] ∵n＝6∴f(x)＝(2x＋a)6，
?2?cosxdx＝6sinx
?＝6， ?0
∴f′(x)＝12(2x＋a)5，
f′?0?12a5∵＝－12，∴6＝－12，∴a＝－1.
af?0?∴f(x)＝(2x－1)6.
6r
其展开式的通项Tr＋1＝Cr(－1)r＝(－1)rCr26rx6r， 6(2x)6·
－
－
－
24令6－r＝4得r＝2，∴f(x)展开式中x4的系数为(－1)2C6·2＝240，故选B．
二、填空题
3．观察下列等式：导学号 51124267 (1＋x＋x2)1＝1＋x＋x2，
(1＋x＋x2)2＝1＋2x＋3x2＋2x3＋x4，
(1＋x＋x2)3＝1＋3x＋6x2＋7x3＋6x4＋3x5＋x6，
(1＋x＋x2)4＝1＋4x＋10x2＋16x3＋19x4＋16x5＋10x6＋4x7＋x8， ……
由以上等式推测：对于n∈N*，若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a2＝ n?n＋1? . 2n?n＋1?
[解析] 观察给出各展开式中x2的系数：1,3,6,10，据此可猜测a2＝.
24．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，则导学号 51124268 (1)a8＋a7＋…＋a1＝__255__； (2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝__32896__. [解析] 令x＝0，得a0＝1. (1)令x＝1得
(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①
∴a8＋a7＋…＋a2＋a1＝28－a0＝256－1＝255. (2)令x＝－1得
(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0.② ①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)， 1
∴a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32 896.
2三、解答题
5．在(2x－3y)10的展开式中，求：导学号 51124269 (1)二项式系数的和； (2)各项系数的和；
(3)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和．
[解析] 设(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10，(*) 由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． (1)二项式系数和为
01010C10＋C110＋…＋C10＝2.
(2)令x＝y＝1，各项系数和为(2－3)10＝(－1)10＝1. 1－510(3)x的奇次项系数和为a1＋a3＋a5＋…＋a9＝；
21＋510
x的偶次项系数和为a0＋a2＋a4＋…＋a10＝. 26．在二项式(x＋
12x
)n的展开式中，前三项系数成等差数列.导学号 51124270
(1)求展开式中的常数项； (2)求展开式中系数最大的项． [解析] (1)二项式(x＋
nn?n－1?
)n的展开式中，前三项系数分别为1，，，
282x1
n?n－1?
再根据前三项系数成等差数列，可得n＝1＋，求得n＝8或n＝1(舍去)．
8故二项式(x＋
)8的展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr2r·x4r. 8·2x
－
－
1
135
令4－r＝0，求得r＝4，可得展开式的常数项为T5＝C4()4＝. 8·28(2)设第r＋1项的系数最大，则由
2024-2024学年高中数学人教A版选修2-3练习：第1章 计数原理1.3.2 Word版含解析
