韦达定理的应用
、典型例题
例1:已知关于X的方程2x' —( mτ+ 1) x+ 1 — m=0的一个根为4 ,求另一个根。
1 一碎
解：设另一个根为
相加,
例2:已知方程X2 — 5x + 8=0的两根为Xi, X2 ,求作一个新的一元二次方程，使它的两根分别为 J
-和
i-F? = 2 _ I 2 .? f (τ,1 + XJ )2 — 2x1τ1 解： ??? 七ZI 又禺+心=茂孔心=S
鱼+鱼一 2
代入得，
码亞 S
?新方程为岂
- 9y ÷8= 0
是不是方程9x' — 10X — 2=0的一个实数根?
解：I二次实数方程实根共轭，???若是，则另一根为
9
10 2
...以g也为根的一元二次方程即为5X2 -WX - 2 = 0
y =IO
例4:解方程组 解：设 JH-丁 = HA °iU' - 3卫- 10 = 0....(占 + 2)(/-5)= 0
.?. A=5. . x-y=5 又 xy=-6.
例5:已知Rr ' ABC中，两直角边长为方程 X —( 2rnι+ 7) x+ 4m (rnι- 2)
卩十(-?∕) = 5
IXl = 2「
τa = 3
解方程组
b(-
??可解得LV
l ‘ 一* 必=-
2
=0 的两根，且斜
边长为13,求S—上匚的值 解：不妨设斜边为 C=13,两条直角边为a, b ,则2^叱=必。又a, b为方程两根。
.ab=4m (m-2)??? SgU=加 S
但 a, b 为实数且；\饨=13)
∫Δ> 0
...护 +沪二(口+时 -2必=-Ite+30 = 0
一 ?∩
? m=5 或 6 当 m=6时，口吒 ° ? m=5?°? S讪「
例6: M为何值时，方程 8x「—( m— 1) X + m— 7=0的两根
①均为正数②均为负数 ③一个正数，一个负数④一根为零⑤互为倒数
Δ>0
X1 + ? ψ 0 ΛjX1 > 0 ? m>7 ?≥o Λ1 +Λ1 < Q XlXa > O
???不存在这样的情况。
? m<7
④ 心力三°
? m=7
?≥0
⑤
L 8
? m=15.但使
?不存在这种情况
【模拟试题】（答题时间： 30分钟）
1. 设n为方程X + mx^ n=0 （n≠0）的一个根，贝U m+ n等于
2. 已知方程X + PX — q=0的一个根为—2+时-,可求得P= ,q=
3. 若方程X- + mx+ 4=0的两根之差的平方为 48,则m的值为（）
A.± 8 B.8 C. — 8 D. ± 4
4. 已知两个数的和比 a少5 ,这两个数的积比a多3,则a为何值时，这两个数相等?
5. 已知方程（a+ 3） X +仁ax有负数根，求 a的取值范围。
严厂5
6.已知方程组厅÷y1 = n 值。
:兀二—αa <
的两组解分别为
/1 =為
ba = ? ,求代数式ab+ab的
1
2
2
1
7.曲ABC中，AB=AC ￡ A,乙B^ C的对边分别为 a, b, C,已知a=3,b和C是关于X的
1
方程X2 3 4 5 6 + mx+ 2—2 m=0的两个实数根，求 心ABC的周长。 x1 + x2= 12 — m , x1x2 =
m — 1.
于是 x1x2 + x1 + x2= 11, 即(x1+ 1)(x2 + 1) = 12 .
V x1、x2为正整数，
Λ
业带于勤而爺于嫌，岳成于思而毁于随
乞
一母愈
【试题答案】
1. — 1 2. 4 ，1 3. A 4. a=1 或 13
5 — 3≤ a≤— 2提示：分 a=— 3以及a≠— 3讨论求解 6 13
例1已知P + q = 198 ,求方程x2+ px+ q = 0的整数根. ('9祖冲之杯数学邀请赛试题)
解：设方程的两整数根为x1、x2,不妨设x1 ≤x2由韦达定理，得 x1 + x2= — P, x1x2 = q .
于是 x1x2 — (x1 + x2) = p+ q= 198 , 即 x1x2 — x1 — x2+ 1 = 199 . ??? (x1 — 1)(x2 — 1) = 199 . 注意到x1 —1、x2 — 1均为整数，
解得 x1 = 2, x2= 200 ; x1 = — 198 , x2 = 0.
例2已知关于X的方程x2 — (12 — m)x + m — 1 = 0的两个根都是正整数，求的值.
解：设方程的两个正整数根为 x1、x2 ,且不妨设x1≤x2由韦达定理得
m
韦达定理应用(资料).docx
