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12.3等腰三角形
等边三角形（2）
【教学目标】： 1、知识与技能：
1．探索──发现──猜想──证明直角三角形中有一个角为30°的性质． 2．有一个角为30°的直角三角形的性质的简单应用． 2、过程与方法：
1．经历“探索──发现──猜想──证明”的过程，?引导学生体会合情推理与演绎推理的相互依赖和相互补充的辩证关系．
2．培养学生用规范的数学语言进行表达的习惯和能力． 3、情感态度与价值观：
1．鼓励学生积极参与数学活动，激发学生的好奇心和求知欲． 2．体验数学活动中的探索与创新、感受数学的严谨性． 【教学情景导入】： 提出问题，创设情境
1.用两个全等的含30°角的直角三角尺，你能拼出一个怎样的三角形？?能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由．
2.由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？你能证明你的结论吗？ 导入新课
（让学生经历拼摆三角尺的活动，发现结论，同时引导学生意识到，通过实际操作探索出来的结论，还需要给予证明）
1.用含30°角的直角三角尺摆出了如下两个三角形．
AAB
其中，图（1）是等边三角形，因为△ABD≌△ACD，所以AB=AC，又因为Rt△ABD中，∠BAD=60°，所以∠ABD=60°，有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 图（1）中，∠B=∠C=60°，∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°+30°=60°，所以∠B=∠C=∠BAC=60°，即△ABC是等边三角形．
同学们从不同的角度说明了自己拼成的图（1）是等边三角形．由此你能得出在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的关系吗？
在直角三角形中，30°角所对直角边是斜边的一半． 我们仅凭实际操作得出的结论还需证明，你能证明它吗？
可以，图（1）中，已经知道它是等边三角形，所以AB=BC=AC．?而∠ADB=90°，
D(1)CBD(2)C初中-数学-打印版
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即AD⊥BC．根据等腰三角形“三线合一”的性质，可得BD=DC=
11BC．所以BD=AB，22?即在Rt△ABD中，∠BAD=30°，它所对的边BD是斜边AB的一半．
这位同学能结合前后知识，把问题思路解释得如此清晰，很了不起．?下面我们一同来完成这个定理的证明过程．
【教学过程设计】：
定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，?那么它所对的直角边等于斜边的一半． 已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°．
求证：BC=
1AB． 2AAC
分析：从三角尺的摆拼过程中得到启发，延长BC至D，使CD=BC，连接AD．
强调：这个定理在我们实际生活中有广泛的应用，因为它由角的特殊性，揭示了直角三角形中的直角边与斜边的关系，下面我们就来看一个例题．
右图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BBC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°，立柱BD、DE
D要多长？
分析：观察图形可以发现在Rt△AED与Rt△ACB中，由于AEC∠A=30°，所以DE=所以DE=
BBCD11AD，BC=AB，又由D是AB的中点，221AB． 4 等腰三角形的底角为15°，腰长为2a，求腰上的高．
已知：如图，在△ABC中，AB=AC=2a，∠ABC=∠ACB=15°，CD是腰AB上的高． 求：CD的长．
分析：观察图形可以发现，在Rt△ADC中，AC=2a，D而∠DAC是△ABC的一个外角，?则∠DAC=15°×A2=30°，根据在直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半，?可求出CD． BC
已知如图所示, 在△ABC中, BD是AC边上的中线, DB⊥BC于B, ∠ABC=120o, 求证: AB=2BC
分析 由已知条件可得∠ABD=30o, 如能构造有一个锐角是30o的直角三角形, 斜边是AB,30o角所对的边是与BC相等的线段,问题就得到解决了.
证明: 过A作AE∥BC交BD的延长线于E ∵DB⊥BC(已知)
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∴∠AED=90o (两直线平行内错角相等) 在△ADE和△CDB中
B
A D C
??E??CBD(已证)???ADE??BDC(对顶角相等) ?AD?CD(已知)?∴△ADE≌△CDB(AAS)
∴AE=CB(全等三角形的对应边相等) ∵∠ABC=120o,DB⊥BC(已知) ∴∠ABD=30o
在Rt△ABE中,∠ABD=30o ∴AE=
1AB(在直角三角形中,如果一个锐角等于30o, 21AB 即AB=2BC 2那么它所对的直角边等于斜边的一半) ∴BC=
点评 本题还可过C作CE∥AB
练习
1．已知：如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°． 求证：BD=
C1AB． 4BDA
2．已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．
求证：其中一条是另一条的2倍．
A3、已知：在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC=2∠C，BD是
∠ABC的平分线． 求证：CD=2AD．
DCB
【课堂作业】
1．Rt△ABC中，若CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=3㎝，则BD的长度是（ ） A．3㎝ B．6㎝ C． 9㎝ D．12㎝
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2．在下列命题中：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一腰上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的是（ ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3、已知∠AOB=30°,点P在∠AOB内部,P1与P关于OB对称,P2与P关于OA对称,则P1,O,P2三点构成的三角形是 ( )D
(A)直角三角形 (B)钝角三角形 (C)等腰三角形 (D)等边三角形
4、如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P． ①求∠PBQ的度数．②判断PQ与BP的数量关系．
答案：1．C 2．B3、C
4．解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°． 又∵AE=CD，∴△ABE≌△ACD， ∴∠ABE=∠DAC．
又∵∠BPQ=∠ABE+∠BAD， ∴∠BPQ=∠DAC+∠BAD=60°， ∴在Rt△BPQ中，∠PBQ=30°， ∴PQ=
1BP． 2 提示：将求∠PBQ的度数转成求∠BPQ的度数． 【教学反思】
这节课，我们在上节课的基础上推理证明了含30°的直角三角形的边的关系．这个定理是个非常重要的定理，在今后的学习中起着非常重要的作用．他与等边三角形联系非常紧密，这也充分体现了数学知识之间的紧密联系以及灵活的运用，充分锻炼和提高了学生思维的灵活性
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人教版-数学-八年级上册-12.3等腰三角形_等边三角形(2)_教案-
