高等数学下册试题(题库)及参考答案
解 所给方程的特征方程为 r?2r?3?0 其根为 r1??3,r2?1
?3x?C2ex 所以原方程的通解为 y?C1e28.证明
?x,y???0,0?x2y2limx2y2??x?y?22极限不存在
8)因为limx2y2xy??x?y?22x?0x?y?1,limx2y2x2y2??x?y?2x?0y?2x?0所以极限不存在
xy29.证明lim极限不存在
?x,y???0,0?x2?y42xyk?9)设y2=kx，lim2不等于定值，极限不存在 2y?0x?y4k?12x?ky10.计算??xyd?? 其中D是由直线y?1、x?2及y?x所围成的闭区域?
D 解? 画出区域D?
可把D看成是X??型区域? 1?x?2? 1?y?x ? 于是
422y2x1xx129? 3?[?]??[x?]dx?(x?x)dxxyd??[xydy]dx11?12???1?12?124282x2D注? 积分还可以写成??xyd???dx?xydy??xdx?ydy?
D11112x2x11．解：
dy=2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。 dxdy=2xdx 两边积分有：ln|y|=x2+c yx2y=e+ec=cex2另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= ex.
12. y2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。
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解：y2dx=-(x+1)dy
dyy2dy=-1x?1dx 两边积分: -1=-ln|x+1|+ln|c| y=
1yln|c(x?1)|
另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y=
1ln|c(x?1)|
13. (x2?y)dx?(x?2y)dy?0 解： ?M?y?1，?N?x=1 . 则
?M?N?y??x 所以此方程是恰当方程。 凑微分，x2dx?2ydy?(ydx?xdy)?0 得 ：13x3?xy?y2?C 14． (y?3x2)dx?(4y?x)dy?0
解： ?M?N?y?1，?x?1 . 则
?M?y??N?x . 所以此方程为恰当方程。 凑微分，ydx?xdy?3x2dx?4ydy?0 得 x3?xy?2y2?C
15. 求
,ylimxy?1?1(x)?(0, 0)xy? 解17 / 21
?
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(x,y)?(0, 0)limxy?1?1(xy?1?1)(xy?1?1)1?lim?1? ?lim(x,y)?(0, 0)xy?1?12xy(x,y)?(0, 0)xy(xy?1?1)
16. 求z?x2?3xy?y2在点(1? 2)处的偏导数? 解 ?z?2x?3y? ?z?3x?2y? ?z?x?y?xx?1?2?1?3?2?8? y?2?z?yx?1?3?1?2?2?7? y?22?3z、?2z和?2z? 17. 设z?x3y2?3xy3?xy?1? 求?z、
?y?x?x?y?x2?x3 解 ?z?3x2y2?3y3?y? ?z?2x3y?9xy2?x?
?y?x23?z?2 2?6xy? z?6y2? 3?x?x22 ?z?6x2y?9y2?1? ?z?6x2y?9y2?1? ?
?x?y?y?x22?z??0? 18. 验证函数z?lnx?y满足方程2?z?x?y222 证 因为z?lnx2?y2?1ln(x2?y2)? 所以
2y ?z?2x2? ?z?22?
?yx?y?xx?y2(x2?y2)?x?2xy2?x2?z?222? 2??x(x2?y2)2(x?y)2(x2?y2)?y?2yx2?y2?z?222? 2??y(x2?y2)2(x?y)22x2?y2y2?x2?z?z因此 2?2?222?222?0? ??x?y(x?y)(x?y)19. 计算函数z?x2y ?y2的全微分? 解 因为?z?2xy? ?z?x2?2y?
?y?x所以dz?2xydx?(x2?2y)dy ? ?
20. 函数z?3x2?4y2在点(0? 0)处有极小值? ?
当(x? y)?(0? 0)时? z?0? 而当(x? y)?(0? 0)时? z?0? 因此z?0是函数的极小值? 21.函数z??x2?y2在点(0? 0)处有极大值? ?
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当(x? y)?(0? 0)时? z?0? 而当(x? y)?(0? 0)时? z?0? 因此z?0是函数的极大值? 22. 已知三角形ABC的顶点分别是A (1??2??3)、B (3??4??5)、C (2??4??7)??求三角形ABC的面积??
解 根据向量积的定义??可知三角形ABC的面积
????11S?ABC?|AB||AC|sin?A?|AB?AC|?? 22?由于AB?(2??2??2)???AC?(1??2??4)???因此
ijk?AB?AC?222?4i?6j?2k?
124???于是 S?ABC?1|4i?6j?2k|?142?(?6)2?22?14??
2223. 设有点A(1? 2? 3)和B(2? ?1? 4)? 求线段AB的垂直平分面的方程? ?
解 由题意知道? 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹? 设M(x? y? z)为所求平面上的任一点? 则有
|AM|?|BM|? 即 (x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?(x?2)2?(y?1)2?(z?4)2? ? 等式两边平方? 然后化简得
2x?6y?2z?7?0? ?
这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程? 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程? 所以这个方程就是所求平面的方程? ?
24. 求过点(2? ?3? 0)且以n?(1? ?2? 3)为法线向量的平面的方程? 解 根据平面的点法式方程? 得所求平面的方程为 (x?2)?2(y?3)?3z?0? 即 x?2y?3z?8?0?
25.求通过x轴和点(4? ?3? ?1)的平面的方程?
解 平面通过x轴? 一方面表明它的法线向量垂直于x轴? ??即A?0? 另一方面表明?它必通过原点? 即D?0? 因此可设这平面的方程为 By?Cz?0?
又因为这平面通过点(4? ?3? ?1)? 所以有 ?????????????3B?C?0? 或 C??3B ?
将其代入所设方程并除以B (B?0)? 便得所求的平面方程为 y?3z?0? 26.求直线L1:x?1?1yz?3?和L2:x?y?2?z的夹角? ?412?2?1 解 两直线的方向向量分别为s1 ??(1? ?4? 1)和s2 ??(2? ?2? ?1)? 设两直线的夹
角为? ? 则
cos??|1?2?(?4)?(?2)?1?(?1)|?1?2 2212?(?4)2?12?22?(?2)2?(?1)2 ?
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所以???? ?
4例1 求幂级数
nx2?x3? ? ? ? ?(?1)n?1xn? ? ? ? n?1x(?1)?x??n23nn?1?的收敛半径与收敛域?
1a 解 因为?? lim|n?1|? limn?1?1?
n??ann??1n所以收敛半径为R??1?1?
? 当x?1时? 幂级数成为?(?1)n?1n?1?1? 是收敛的? n 当x??1时? 幂级数成为?(?)? 是发散的? 因此? 收敛域为(?1, 1]?
n?11n 例2 求幂级数?1xn n?0n!?1?x?1x2?1x3? ? ? ? ?1xn? ? ? ?
2!3!n!的收敛域?
1a(n?1)! ? limn!?0? 解 因为?? lim|n?1| ? limn??ann??n??(n?1)!1n!所以收敛半径为R???? 从而收敛域为(??, ??)? 例3 求幂级数 解 因为
n?0?n!xn的收敛半径?
??? lim|n??an?1(n?1)!| ? lim???? n??ann!所以收敛半径为R?0? 即级数仅在x?0处收敛? 例5 计算
?L2xydx?x2dy? 其中L为抛物线y?x上从O(0? 0)到B(1? 1)的一段弧?
2
解? 因为
?P??Q?2x在整个xOy面内都成立?
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