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（2）Q2a?b?2c，由正弦定理得：2sinA?sinB?2sinC 又sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC，A??3
?2?331?cosC?sinC?2sinC 222整理可得：3sinC?226?3cosC
QsinC?cosC?1 ?3sinC?6解得：sinC???2?31?sin2C
??6?26?2或 44因为sinB?2sinC?2sinA?2sinC?666?2，故sinC?. ?0所以sinC?424?3（2）法二：Q2a?b?2c，由正弦定理得：2sinA?sinB?2sinC 又sinB?sin?A?C??sinAcosC?cosAsinC，A?
?2?331?cosC?sinC?2sinC 222整理可得：3sinC?6?3cosC，即3sinC?3cosC?23sin?C???????6 6???2? ?sin?C???6?2?由C?(0,????2????),C??(?,)，所以C??,C??
64463662?4?sinC?sin(【点睛】
?6)?6?2. 4本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系. 18．（1）见解析；（2）
10. 5
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【解析】 【分析】
（1）利用三角形中位线和A1D//B1C可证得ME//ND，证得四边形MNDE为平行四边形，进而证得MN//DE，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB中点F，可证得DF?平面AMA1，得到平面
uuurrAMA1的法向量DF；再通过向量法求得平面MA1N的法向量n，利用向量夹角公式求得
两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 【详解】
（1）连接ME，B1C
QM，E分别为BB1，BC中点 ?ME为?B1BC的中位线
?ME//B1C且ME?1B1C
2又N为A1D中点，且A1D//B1C ?ND//B1C且ND?1B1C 2?ME//ND ?四边形MNDE为平行四边形
?MN//DE，又MN?平面C1DE，DEì平面C1DE ?MN//平面C1DE
（2）设ACIBD?O，AC11IB1D1?O1 由直四棱柱性质可知：OO1?平面ABCD
Q四边形ABCD为菱形 ∴AC⊥BD
则以O为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：
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则：A?3,0,0，M?0,1,2?，A1???31?3,0,4?，D（0，-1,0）N??2,?2,2?? ???31?取AB中点F，连接DF，则F??2,2,0??
??Q四边形ABCD为菱形且?BAD?60o ??BAD为等边三角形 ?DF?AB
又AA1?平面ABCD，DF?平面ABCD ?DF?AA1
∴DF?平面ABB1A1，即DF?平面AMA1
uuuruuur?DF为平面AMA1的一个法向量，且DF?33????2,2,0?? ???2?2??uuuur?33?uuuurr,?,0? 设平面MA1N的法向量n??x,y,z?，又MA1??3,?1,2?，MN??uuuuvr?n?MA1?3x?y?2z?0r?y?1?n???ruuuu，令，则， x?3z??1v33x?y?0?n?MN?22?uuurruuurrDF?n315uuurr10?cos?DF,n??uuu?rr? ?sin?DF,n??
515DF?n5?二面角A?MA1?N的正弦值为：10 5【点睛】
本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.
?3,1,?1
?
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19．（1）12x?8y?7?0；（2）【解析】 【分析】
413. 3y=（1）设直线l：
3B?x2,y2?；x?m，A?x1,y1?，根据抛物线焦半径公式可得x1+x2?1；
2联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m的方程，解方程求得结果；（2）设直线l：x?uuuruuur2y?t；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用AP?3PB3可得y1??3y2，结合韦达定理可求得y1y2；根据弦长公式可求得结果. 【详解】
3x?m，A?x1,y1?，B?x2,y2? 235由抛物线焦半径公式可知：AF?BF?x1?x2??4 ?x1?x2?
22（1）设直线l方程为：y=3??y?x?m22联立?得：9x??12m?12?x?4m?0 22??y?3x1 2712m?125?x1?x2???，解得：m??
928则???12m?12??144m2?0 ?m?2?直线l的方程为：y?37x?，即：12x?8y?7?0 282（2）设P?t,0?，则可设直线l方程为：x?y?t
32??x?y?t2联立?得：y?2y?3t?0 32??y?3x则??4?12t?0 ?t??1 3?y1?y2?2，y1y2??3t
uuuruuurQAP?3PB ?y1??3y2 ?y2??1，y1?3 ?y1y2??3
2则AB?1?4?9?y1?y2??4y1y2?13413 ?4?12?33
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【点睛】
本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】
???（1）求得导函数后，可判断出导函数在??1,?上单调递减，根据零点存在定理可判断出
?2????????x0??0,?，使得g??x0??0，进而得到导函数在??1,?上的单调性，从而可证得结论；
?2??2?骣p÷x西0,÷时，首先可fx?1,0?（2）由（1）的结论可知x?0为??在??上的唯一零点；当??÷桫2判断出在(0,x0)上无零点，再利用零点存在定理得到f?x?在?x0,?????上的单调性，可知2????f?x??0，不存在零点；当x??,??时，利用零点存在定理和f?x?单调性可判断出存
?2?在唯一一个零点；当x???,???，可证得f?x??0；综合上述情况可证得结论. 【详解】
（1）由题意知：f?x?定义域为：??1,???且f??x??cosx?令g?x??cosx?1 x?1???1，x???1,? x?12??1?g??x???sinx?1?x?1?2，x???1,????? 2?Q?x?1?2111???????,在??1,在??上单调递减，??1,?上单调递减 an?1an7?2??2???????g??x?在??1,?上单调递减
2又g??0???sin0?1?1?0，g?????sin?22??????4???2?2?4???2?2?1?0
2019年高考全国1卷理科数学试题和答案
