五大策略优化解析几何运算
解析几何是中学数学的重要内容，它涉及的知识深广，方法灵活多变，是学习的重点和难点，也是历年高考的热点. 在实际解题中，解析几何问题中的运算往往无处不在. 掌握运算方法，优化运算过程，提高运算速度，是解好解析几何问题的关键。
策略1 回归定义
运用相关的概念、定义对问题的定性分析和定量计算有机地结合起来，可使问题解决起来思路清晰、运算过程简捷明快.
例1 在椭圆
xy??1上求一点P，使点P到右焦点的距离等于它到左焦点距离的259P
满足方程组
4倍.
分析 设P（x1，y1），根据题设条件，点
?x1y1?25?9?1 ??(x?4)2?y2?4(x?4)2?y21111?这是一个复杂的运算. 如何简化呢？根据椭圆的第二定义，可以得到焦半径公式，这
样求解起来就简单很多.
c5?. 设所求点P（x1，y1），依题意a444点P在y轴的左侧，则x1<0，焦半径|PF1|=a+ex1=5+x1，|PF2|=a-ex1=5-x1.
55解 由椭圆方程知F1（-4，0），F2（4，0），e=由题意有4（5+
441537x1）=5-x1，∴x1=?，从而y1=?. 5544故所求点P的坐标为???1537??1537??或????. ?,??,??4??4??44???点评 凡涉及焦点坐标、离心率、准线、焦准距、焦半径等问题，往往与定义有
关，求解时采用回归定义策略是优化解题运算的重要途径.
策略2 借助平几
解析几何和平面几何研究的对象都是几何问题，区别在于研究的手段不同，所以有些解析几何问题借助平面几何知识简化运算，起到事半功倍的效果.
例2 已知圆C：（x-3）2 +（y-4）2 =4，直线l1过点A（1，0），且与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N. 求证：AM·AN为定值.
分析 若设l1方程为y=k(x-1)，代入圆方程C，用k表示出弦PQ中点M的坐标，再求出l1与l2的交点N的坐标，最后代入计算AM·AN的值. 则显得比较繁冗，如果能充分考虑题中条件的平面几何背景，注意到AC所在直线与l2的垂直关系，利用相似三角形知识求解，则显得非常简便.
证明 由两点式得AC所在直线的方程
y?0x?1?.即2x-y-2=0. 4?03?1又l2方程为x+2y+2=0.
∴AC⊥l2.如图1，设垂足为B，再由M为弦PQ中点知CM⊥PQ， 故△AMC∽△ABN，∴
AMAC?， ABAN
图1 则AM·AN=AB·AC=
|1?2|1?22?(3?1)2?42?35?25?6.
∴AM·AN为定值.
点评 本题从条件中挖掘得出AC⊥l2，是使命题顺利得证的关键一步.
策略3 设而不求
解析几何中有些问题，若把所涉及的量全部计算出来再加以解决，有时反显得多余而低效. 设而不求，尽显方法之绝妙，是优化运算、提高解题效率的重要策略.
x2y2??1的右支于M、N两点，定点B（0，4）. 若例3 已知直线l交双曲线54△BMN的重心为双曲线的右焦点. 求直线l的方程.
解 双曲线的右焦点F（3，0），设M（x1，y1），N（x2，y2），则由F为△BMN的重心得
x1?x2y?y2?4?3，1?0.于是x1+x2=9，y1+y2= -4. 33∴ 线段MN中点P的坐标为??9??,??2?.又M、N在双曲线上， ?2?22x12y12x2y2??1, ① ??1. ② ∴5454①－②得
kMN?y1?y24(x1?x2)4?99????.
x1?x25(y1?y2)5?(?4)59?9??x??, 即18x+10y-61=0. 5?2?故直线l的方程为y+2=?点评 上述解法中涉及M、N两个点坐标的4个参数，但本题目标是求直线l的方
程，故只需求出MN中点P的坐标和l的斜率. 故设而不求，在解题中只让这些参数体现其桥梁和纽带作用.
策略四 合理引参
处理解析几何问题，恰当地引入参变量，把许多相关或不相关的量统一在一个参数下，往往能起到减少变量、简化结构、优化运算的作用.
x2y2??1，A、B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴例4 已知椭圆94相交于P（x0，0）. 试求x0的取值范围.
分析 若用常规方法求解，涉及A、B两点和线段AB的中点M的坐标共6个参变量，头绪繁多，需不断进行思维转换. 如引入参数，则不但可以减少变量个数，同时也能优化问题的结构关系，从而便于化简运算.
解 设A（3cosθ1，2sinθ1），B（3cosθ2，2sinθ2），由|PA|2+|PB|2可得
(x0?3cosθ1)2?(2sinθ1)2?(x0?3cosθ2)2?(2sinθ2)2,
即5（cos2θ1-cos2θ2）=6x0（cosθ1-cosθ2）.
∵ AB的垂直平分线与x轴相交，故AB与y轴不平行，即cosθ1≠cosθ2， 所以有cosθ1+cosθ2∈（-2，2）.从而，x0?5?55?(cosθ1?cosθ2)????,?. 6?33?点评 凡涉及曲线上点的坐标问题，采用合理引参，这是解析几何中求取值范围
或求最值时的重要策略，其优点是能使解题思路清晰，加之三角知识的合理运用，使运算简捷流畅，对问题的顺利解决起到出奇制胜的效果.
策略五 整体代换
解析几何的许多问题，常需在解题中把某个相关的式子看作整体，并将其代入另一式子，这种整体代换的做法有利于看清问题的本质，找出内在规律，更有利于简化运算环节，使问题轻松获解.
例5 已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.
分析 常规解法是设所求直线l存在，方程为y=x+b，将其与圆的方程联立，用l的斜率k表示出x1，x2和y1，y2，然后代入x1x2+y1y2=0，求得k值，再检验所求得的k是否适合题意，从而确定l存在与否？相对而言，运算量较大. 如果设出以AB为直径的圆的方程，
结合已知圆的方程，用整体代换表示出它们相交弦所在直线l的方程，再根据条件求出相关的参数，则运算过程必然简捷得多.
解 由题意，可设以弦AB为直径经过原点的圆方程为 C′：x2+y2+Dx+Ey=0， ① ∵圆C：x2+y2-2x+4y-4=0. ② ①－②得：（D+2）x+（E－4）y+4=0，此即直线l的方程. 由l的斜率为1可知 D+2= －（E－4）， ③
又圆心C′??E??D?D??E?故（D+2）（E－R）?,???在直线l上，???+???+4=0. ④
2??2?2??2?由③、④解得??D?2,?D??3, ??或????E?0,?E?5.故存在满足题意的直线l，其方程为x-y+1=0或x-y-4=0.
点评 本题从两个圆的方程作差得l的方程框架，是解题的关键. 在解析几何中，当涉及直线系、曲线系等问题时经常采用整体代换方程来寻求解题途径，这也是优化解析几何运算的有效策略.
在解析几何中，审清题意，明确目标是解题的基础，而选择合理的运算方法，掌握恰当的运算策略，对问题的顺利获解至关重要.
五大策略优化解析几何运算.
