五大策略优化解析几何运算
解析几何是中学数学的重要内容,它涉及的知识深广,方法灵活多变,是学习的重点和难点,也是历年高考的热点. 在实际解题中,解析几何问题中的运算往往无处不在. 掌握运算方法,优化运算过程,提高运算速度,是解好解析几何问题的关键。
策略1 回归定义
运用相关的概念、定义对问题的定性分析和定量计算有机地结合起来,可使问题解决起来思路清晰、运算过程简捷明快.
例1 在椭圆
xy??1上求一点P,使点P到右焦点的距离等于它到左焦点距离的259P
满足方程组
4倍.
分析 设P(x1,y1),根据题设条件,点
?x1y1?25?9?1 ??(x?4)2?y2?4(x?4)2?y21111?这是一个复杂的运算. 如何简化呢?根据椭圆的第二定义,可以得到焦半径公式,这
样求解起来就简单很多.
c5?. 设所求点P(x1,y1),依题意a444点P在y轴的左侧,则x1<0,焦半径|PF1|=a+ex1=5+x1,|PF2|=a-ex1=5-x1.
55解 由椭圆方程知F1(-4,0),F2(4,0),e=由题意有4(5+
441537x1)=5-x1,∴x1=?,从而y1=?. 5544故所求点P的坐标为???1537??1537??或????. ?,??,??4??4??44???点评 凡涉及焦点坐标、离心率、准线、焦准距、焦半径等问题,往往与定义有
关,求解时采用回归定义策略是优化解题运算的重要途径.
策略2 借助平几
解析几何和平面几何研究的对象都是几何问题,区别在于研究的手段不同,所以有些解析几何问题借助平面几何知识简化运算,起到事半功倍的效果.
例2 已知圆C:(x-3)2 +(y-4)2 =4,直线l1过点A(1,0),且与圆相交于P,Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N. 求证:AM·AN为定值.
分析 若设l1方程为y=k(x-1),代入圆方程C,用k表示出弦PQ中点M的坐标,再求出l1与l2的交点N的坐标,最后代入计算AM·AN的值. 则显得比较繁冗,如果能充分考虑题中条件的平面几何背景,注意到AC所在直线与l2的垂直关系,利用相似三角形知识求解,则显得非常简便.
证明 由两点式得AC所在直线的方程
y?0x?1?.即2x-y-2=0. 4?03?1又l2方程为x+2y+2=0.
∴AC⊥l2.如图1,设垂足为B,再由M为弦PQ中点知CM⊥PQ, 故△AMC∽△ABN,∴
AMAC?, ABAN
图1 则AM·AN=AB·AC=
|1?2|1?22?(3?1)2?42?35?25?6.
∴AM·AN为定值.
点评 本题从条件中挖掘得出AC⊥l2,是使命题顺利得证的关键一步.
策略3 设而不求
解析几何中有些问题,若把所涉及的量全部计算出来再加以解决,有时反显得多余而低效. 设而不求,尽显方法之绝妙,是优化运算、提高解题效率的重要策略.
x2y2??1的右支于M、N两点,定点B(0,4). 若例3 已知直线l交双曲线54△BMN的重心为双曲线的右焦点. 求直线l的方程.
解 双曲线的右焦点F(3,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),则由F为△BMN的重心得
x1?x2y?y2?4?3,1?0.于是x1+x2=9,y1+y2= -4. 33∴ 线段MN中点P的坐标为??9??,??2?.又M、N在双曲线上, ?2?22x12y12x2y2??1, ① ??1. ② ∴5454①-②得
kMN?y1?y24(x1?x2)4?99????.
x1?x25(y1?y2)5?(?4)59?9??x??, 即18x+10y-61=0. 5?2?故直线l的方程为y+2=?点评 上述解法中涉及M、N两个点坐标的4个参数,但本题目标是求直线l的方
程,故只需求出MN中点P的坐标和l的斜率. 故设而不求,在解题中只让这些参数体现其桥梁和纽带作用.
策略四 合理引参
处理解析几何问题,恰当地引入参变量,把许多相关或不相关的量统一在一个参数下,往往能起到减少变量、简化结构、优化运算的作用.
x2y2??1,A、B是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴例4 已知椭圆94相交于P(x0,0). 试求x0的取值范围.
分析 若用常规方法求解,涉及A、B两点和线段AB的中点M的坐标共6个参变量,头绪繁多,需不断进行思维转换. 如引入参数,则不但可以减少变量个数,同时也能优化问题的结构关系,从而便于化简运算.
解 设A(3cosθ1,2sinθ1),B(3cosθ2,2sinθ2),由|PA|2+|PB|2可得
(x0?3cosθ1)2?(2sinθ1)2?(x0?3cosθ2)2?(2sinθ2)2,
即5(cos2θ1-cos2θ2)=6x0(cosθ1-cosθ2).
∵ AB的垂直平分线与x轴相交,故AB与y轴不平行,即cosθ1≠cosθ2, 所以有cosθ1+cosθ2∈(-2,2).从而,x0?5?55?(cosθ1?cosθ2)????,?. 6?33?点评 凡涉及曲线上点的坐标问题,采用合理引参,这是解析几何中求取值范围
或求最值时的重要策略,其优点是能使解题思路清晰,加之三角知识的合理运用,使运算简捷流畅,对问题的顺利解决起到出奇制胜的效果.
策略五 整体代换
解析几何的许多问题,常需在解题中把某个相关的式子看作整体,并将其代入另一式子,这种整体代换的做法有利于看清问题的本质,找出内在规律,更有利于简化运算环节,使问题轻松获解.
例5 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,是否存在斜率为1的直线l,使以l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由.
分析 常规解法是设所求直线l存在,方程为y=x+b,将其与圆的方程联立,用l的斜率k表示出x1,x2和y1,y2,然后代入x1x2+y1y2=0,求得k值,再检验所求得的k是否适合题意,从而确定l存在与否?相对而言,运算量较大. 如果设出以AB为直径的圆的方程,
结合已知圆的方程,用整体代换表示出它们相交弦所在直线l的方程,再根据条件求出相关的参数,则运算过程必然简捷得多.
解 由题意,可设以弦AB为直径经过原点的圆方程为 C′:x2+y2+Dx+Ey=0, ① ∵圆C:x2+y2-2x+4y-4=0. ② ①-②得:(D+2)x+(E-4)y+4=0,此即直线l的方程. 由l的斜率为1可知 D+2= -(E-4), ③
又圆心C′??E??D?D??E?故(D+2)(E-R)?,???在直线l上,???+???+4=0. ④
2??2?2??2?由③、④解得??D?2,?D??3, ??或????E?0,?E?5.故存在满足题意的直线l,其方程为x-y+1=0或x-y-4=0.
点评 本题从两个圆的方程作差得l的方程框架,是解题的关键. 在解析几何中,当涉及直线系、曲线系等问题时经常采用整体代换方程来寻求解题途径,这也是优化解析几何运算的有效策略.
在解析几何中,审清题意,明确目标是解题的基础,而选择合理的运算方法,掌握恰当的运算策略,对问题的顺利获解至关重要.
五大策略优化解析几何运算.
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