x2＋111
x＋?(x∈(1，＋∞))，因为当x∈(1，＋∞)m≤＝x＋在(1，＋∞)上恒成立，即m≤??x?minxx1
时，x＋>2，所以m≤2.故选C．
x
x5
6．函数f(x)＝＋－ln x的单调递减区间是________．
44xx5
解析：因为f(x)＝＋－ln x，
44x所以函数的定义域为(0，＋∞)， 151x2－4x－5
且f′(x)＝－2－＝，
44xx4x2
令f′(x)＜0，解得0＜x＜5，所以函数f(x)的单调递减区间为(0，5)． 答案：(0，5)
7．已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2＋2) 解析：由题可得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2xln 2，所以在定义域内f′(x)>0， x函数单调递增，所以由f(x2＋2) 答案：(1，2) 8．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)≥0的解集为________． 解析：由f(x)图象特征可得， 11 －∞，?和[2，＋∞)上大于0，在?，2?上小于0， f′(x)在?2???2? ???x≥0，?x≤0，1 ?所以xf′(x)≥0?或??0≤x≤或x≥2， 2?f′（x）≥0??f′（x）≤0? 1 0，?∪[2，＋∞)． 所以xf′(x)≥0的解集为??2?1 0，?∪[2，＋∞) 答案：??2? 2?9．已知函数f(x)＝x3＋ax2－x＋c，且a＝f′??3?. (1)求a的值； (2)求函数f(x)的单调区间． 解：(1)由f(x)＝x3＋ax2－x＋c， 得f′(x)＝3x2＋2ax－1. 2?2?222??当x＝时，得a＝f′?3?＝3×?3?＋2a×－1， 33 11 解得a＝－1. (2)由(1)可知f(x)＝x3－x2－x＋c， 1 x＋?(x－1)， 则f′(x)＝3x2－2x－1＝3??3?1 令f′(x)>0，解得x>1或x<－； 31 令f′(x)<0，解得－ 3 1 －∞，－?和(1，＋∞)； 所以f(x)的单调递增区间是?3??1 －，1?. f(x)的单调递减区间是??3? b 10．已知函数f(x)＝x－1(b∈R，e为自然对数的底数)在点(0，f(0))处的切线经过点(2， e－2)．讨论函数F(x)＝f(x)＋ax(a∈R)的单调性． 解：因为f(0)＝b－1， b－1－（－2）b＋1 所以过点(0，b－1)，(2，－2)的直线的斜率为k＝＝－， 20－2b 而f′(x)＝－x，由导数的几何意义可知， eb＋1 f′(0)＝－b＝－， 21 所以b＝1，所以f(x)＝x－1. e11 则F(x)＝ax＋x－1，F′(x)＝a－x， ee当a≤0时，F′(x)<0恒成立； 当a>0时，由F′(x)<0，得x<－ln a， 由F′(x)>0，得x>－ln a. 故当a≤0时，函数F(x)在R上单调递减； 当a>0时，函数F(x)在(－∞，－ln a)上单调递减，在(－ln a，＋∞)上单调递增． [综合题组练] 1．(综合型)设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a A．f(x)g(x)>f(b)g(b) C．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x) D．f(x)g(x)>f(a)g(a) f（x）f′（x）g（x）－f（x）g′（x） 解析：选C．令F(x)＝，则F′(x)＝<0，所以F(x) g（x）[g（x）]2 12 在R上单调递减．又a f（a）f（x）f（b） >>.又f(x)>0，g(x)>0，所以 g（a）g（x）g（b） 2．函数f(x)的定义域为R.f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则f(x)>2x＋4的解集为( ) A．(－1，1) C．(－∞，－1) B．(－1，＋∞) D．(－∞，＋∞) 解析：选B．由f(x)>2x＋4，得f(x)－2x－4>0.设F(x)＝f(x)－2x－4，则F′(x)＝f′(x)－2. 因为f′(x)>2，所以F′(x)>0在R上恒成立，所以F(x)在R上单调递增，而F(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝2＋2－4＝0，故不等式f(x)－2x－4>0等价于F(x)>F(－1)，所以x>－1，选B． 3．若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞) 1 4．已知函数f(x)＝－x2＋4x－3ln x在区间[t，t＋1]上不单调，则t的取值范围是 2________． 3 解析：由题意知f′(x)＝－x＋4－ x（x－1）（x－3）＝－， x 由f′(x)＝0，得函数f(x)的两个极值点为1和3， 则只要这两个极值点有一个在区间(t，t＋1)内， 函数f(x)在区间[t，t＋1]上就不单调， 由t<1 1a 5．设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. 32(1)求b，c的值； (2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b， ???f（0）＝1，?c＝1， ?由题意得即? ?f′（0）＝0，??b＝0.? 13 故b＝0，c＝1. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)， 当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，a)时，f′(x)＜0； 当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立． 2 则存在x∈(－2，－1)使－a>－x－成立， x2 －x－?. 即－a>?x?? min 因为x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)， 2 则－x－≥2 x ?－2?＝22， （－x）·?x? 2 当且仅当－x＝－，即x＝－2时等号成立， x所以－a>22，则a<－22. 所以实数a的取值范围为(－∞，－22)． 1e 6．(2020·成都七中检测)设函数f(x)＝ax2－a－ln x，g(x)＝－x，其中a∈R，e＝2.718… xe为自然对数的底数． (1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x>1时，g(x)>0. 12ax2－1 解：(1)由题意得f′(x)＝2ax－＝(x>0)． xx当a≤0时，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减． 当a>0时，由f′(x)＝0有x＝当x∈?0， 1 ， 2a ? 1?时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 2a? 当x∈? 1 ，＋∞?时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ?2a? － － (2)证明：令s(x)＝ex1－x，则s′(x)＝ex1－1.当x>1时，s′(x)>0，所以s(x)>s(1)，即ex －1 1ee（ex1－x） >x，从而g(x)＝－x＝>0. xexex － 14
2021版新高考地区高考数学(人教版)大一轮复习第2讲 导数与函数的单调性
