画一组数据的频率分布直方图，可以按以下的步骤进行： （1）计算最大值与最小值的差 （2）决定组距和组数
把所有的数据分为若干组，每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）称为组距。根据问题的需要，各组的组距可以相同或不同。将一批数据分组，一般数据越多分得组数也越多，当数据在100个以内时，常分成5~12组。 （3）列频数分布表
对落在各个小组内的数据进行累计，得到各个小组内的数据的个数，叫做频数，整理即可得到频数分布表。
（4）画频数分布直方图
例、下列是30名学生的数学竞赛成绩： 根据数据做出频数分布直方图 （1）计算最大值与最小值的差
在上面的数据中，最小值是56，最大值是88，它们的差是32，说明数学竞赛成绩的变化范围是32．
（2）决定组距与组数
从最低分数起，每隔5分作为一组，则
所以我们要将数据分成7组，组数和组距分别为7和5． （3）列频数分布表
（4）画频数分布直方图（如右上图）
第八章 认识概率
要点一、确定事件与随机事件
1、确定事件 1）不可能事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． 2）必然事件
在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件
在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 3、可能性的大小
（1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.
（2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同.
要点二、频率与概率
1.概率
随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率(probability).如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率.
事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即
，其中P(必然事
件)=1，P(不可能事件)=0，0＜P(随机事件) ＜1.
所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件).
一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率
通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性.
一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 要点诠释：
①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等；
③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的.
【典型例题】
类型一、确定事件与随机事件
1.（1）指出下列事件中，哪些是不可能事件？哪些是必然事件？哪些是随机事件？ ① 若 a、b、c都是实数，则a(bc)=(ab)c； ②没有空气，动物也能生存下去； ③在标准大气压下，水在 90℃时沸腾； ④直线 y=k(x+1)过定点(-1，0)； ⑤某一天内电话收到的呼叫次数为 0；
⑥一个袋内装有形状大小完全相同的一个白球和一个黑球，从中任意摸出 1个球则为白球. 【思路点拨】结合生活经验和所学知识进行判断.
【答案与解析】①④是必然事件；②③是不可能事件；⑤⑥是随机事件. 【总结升华】要准确掌握不可能事件、必然事件、随机事件的定义.
举一反三
（2015?南岗区一模）同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，下列事件中的不可能事件是（ ） A．点数之和小于4 B．点数之和为10 C．点数之和为14 D．点数之和大于5且小于9 【答案】C.
解：因为同时抛掷两枚质地均匀的正方体骰子，正方体骰子的点数和应大于或等于2，而小于或等于12．显然，是不可能事件的是点数之和是14． 故选C．
mn2. 在一个不透明的口袋中，装有10个除颜色外其它完全相同的球，其中5个红球，3个蓝球，2个白球，它们已经在口袋中搅匀了.下列事件中，哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？哪些是可能发生的？
(1)从口袋中任取出一个球，它恰是红球；
(2)从口袋中一次性任意取出2个球，它们恰好全是白球；
(3)从口袋中一次性任意取出5个球，它们恰好是1个红球，1个蓝球，3个白球. 【答案与解析】
(1)可能发生，因为袋中有红球； (2)可能发生，因为袋中刚好有2个白球；
(3)不可能发生，因为袋中只有2个白球，取不出3个白球. 【总结升华】要了解并掌握三种事件的区别和联系.
类型二、频率与概率
3.关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（ ） A. 频率等于概率
B. 当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C. 当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D. 实验得到的频率与概率不可能相等
【思路点拨】对于某个确定的事件来说，其发生的概率是固定不变的，而频率是随着试验次数的变化而变化的. 【答案】B.
【解析】事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近. 【总结升华】概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值.
4. 如图所示，转盘停止后，指针落在哪个颜色区域的可能性大？为什么？
【思路点拨】可以采用面积法计算各颜色所占的比例，比例大的，指针落在该区域的可能性也大. 【答案与解析】落在黄色区域的可能性大. 理由如下：
由图可知：黄色占整个转盘面积的 红色占整个转盘面积的
；
；
蓝色占整个转盘面积的.
由于黄色所占比例最大，所以，指针落在黄色区域的可能性较大.
【总结升华】计算随机事件的可能性的大小，根据不同题目的条件来确定解法，如面积法、数值法等.
类型三、利用频率估计概率
5.（2015春?江都市期末）“2015扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有三项：A、“半程马拉松”、B、“10公里”、C、“迷你马拉松”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组．
（1）小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为 ．
（2）为估算本次赛事参加“迷你马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 50 100 45 0.450 200 79 0.395 500 200 0.400 1000 401 0.401 参加“迷你马拉松”人数 21 参加“迷你马拉松”频率 0.360 ①请估算本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为 ．（精确到0.1） ②若本次参赛选手大约有30000人，请你估计参加“迷你马拉松”的人数是多少？ 【思路点拨】（1）利用概率公式直接得出答案；
（2）①利用表格中数据进而估计出参加“迷你马拉松”人数的概率； ②利用①中所求，进而得出参加“迷你马拉松”的人数．
【答案与解析】
解：（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到三个项目组，
∴小明被分配到“迷你马拉松”项目组的概率为：；
故答案为：；
（2）①由表格中数据可得：本次赛事参加“迷你马拉松”人数的概率为：0.4；
故答案为：0.4；
②参加“迷你马拉松”的人数是：30000×0.4=12000（人）．
【总结升华】此题主要考查了利用频率估计概率：当大量重复试验时，频率会稳定在概率附近.正确理解频率与概率之间的关系是解题关键．
第九章 中心对称图形----平行四边形 §9.1 图形的旋转
1、旋转的定义
在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 2、旋转的性质
旋转的特征：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点：
（1） 图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。（2）对应点到旋转中
心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。（3）图形的大小和形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 3、利用旋转性质作图
旋转有两条重要性质：（1）任意一对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（2）对应点到旋转中心的距离相等，它是利用旋转的性质作图的关键。 步骤可分为：
①连：即连接图形中每一个关键点与旋转中心；
②转：即把直线按要求绕旋转中心转过一定角度（作旋转角）
③截：即在角的另一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； ④接：即连接到所连接的各点。
§9.2 中心对称与中心对称图形 【知识点总结】 1、中心对称的概念
一个图形绕某点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这点对称，也称这两个图形成中心对称。这个点叫做对称中心，两个图形中的对应点叫做对称点。 2、中心对称的性质
一个图形绕某一点旋转180°是一种特殊的旋转，成中心对称的两个图形具有图形旋转的一切性质。
成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。 3、中心对称图形的定义及其性质
苏教版八年级数学下册知识点(详细精华版)复习过程
