同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-6
习题7,6
yx,3z,1,, 1, 求过点(4～ ,1～ 3)且平行于直线的直线方程, 215
解 所求直线的方向向量为s,(2～ 1～ 5)～ 所求的直线方程为 y，1x,4z,3,,, 215
2, 求过两点M(3～ ,2～ 1)和M(,1～ 0～ 2)的直线方程, 12
解 所求直线的方向向量为s,(,1～ 0～ 2),(3～ ,2～ 1),(,4～ 2～ 1)～ 所求的直线方程为 y，2x,3x,1,,, ,421
x,y，z,1, 3, 用对称式方程及参数方程表示直线, ,2x，y，z,4,
解 平面x,y，z,1和2x，y，z,4的法线向量为n,(1～ ,1～ 1)～ 1n,(2～ 1～ 1)～ 所求直线的方向向量为 2
ijk
, s,n，n,1,11,,2i，j，3k12 211
x,y，z,1x，z,1,, 在方程组中～ 令y,0～ 得～ 解得x,3～ ,,2x，y，z,42x，z,4,,z,,2, 于是点(3～ 0～ ,2)为所求直线上的点,
所求直线的对称式方程为 yx,3z，2,, , ,213
参数方程为
x,3,2t～ y,t～ z,,2，3t,
x,2y，4z,7,0, 4, 求过点(2～ 0～ ,3)且与直线垂直的平面,3x，5y,2z，1,0,方程,
解 所求平面的法线向量n可取为已知直线的方向向量～ 即 ijk
, n,(1, ,2, 4)，(3, 5, ,2),1,24,,16i，14j，11k 35,2
所平面的方程为
,16(x,2)，14(y,0)，11(z，3),0～ 即 16x,14y,11z,65,0,
2x，2y,z，23,05x,3y，3z,9,0,, 5, 求直线与直线的夹角,,3x,2y，z,03x，8y，z,18,0,,的余弦,
解 两直线的方向向量分别为 ijk
～ s,5,33,3i，4j,k1 3,21 ijk
, s,22,1,10i,5j，10k2 381
两直线之间的夹角的余弦为 s，s^12cos(s, s), 12|s|,|s|12
3，10，4，(,5)，(,1)，10,,0 , 2222223，4，(,1)10，(,5)，10
x，2y,z,73x，6y,3z,8,, 6, 证明直线与直线平行, ,,,2x，y，z,72x,y,z,0,, 解 两直线的方向向量分别为
ijk
～ s,12,1,3i，j，5k1 ,211 ijk
, s,36,3,,9i,3j,15k2 2,1,1
因为s,,3s～ 所以这两个直线是平行的, 21
7, 求过点(0～ 2～ 4)且与两平面x，2z,1和y,3z,2平行的直线 方程,
解 因为两平面的法线向量n,(1～ 0～ 2)与n,(0～ 1～ ,3)不平12行～ 所以两平面相交于一直线～ 此直线的方向向量可作为所求
直线的方向向量s～ 即 ijk
, s,102,,2i，3j，k 01,3
所求直线的方程为 y,2xz,4,, , ,231
y，3x,4z,, 8, 求过点(3～ 1～ ,2)且通过直线的平面方程, 521
y，3x,4z,, 解 所求平面的法线向量与直线的方向向量
521s,(5～ 2～ 1)垂直, 因为点(3～ 1～ ,2)和(4～ ,3～ 0)都在所求的平面上～ 1
所以所求平面的法线向量与向量s,(4～ ,3～ 0),(3～ 1～ ,2),(1～ ,4～ 2)2
也是垂直的, 因此所求平面的法线向量可取为 ijk
, n,s，s,521,8i,9j,22k12 1,42
所求平面的方程为
8(x,3),9(y,1),22(z，2),0～ 即 8x,9y,22z,59,0,
x，y，3z,0, 9, 求直线与平面x,y,z，1,0的夹角, ,x,y,z,0, 解 已知直线的方向向量为 ijk
～ s,(1, 1, 3)，(1, ,1, ,1),113,2i，4j,2k,2(i，2j,k) 1,1,1
已知平面的法线向量为n,(1～ ,1～ ,1), 因为
s,n,2，1，4，(,1)，(,2)，(,1),0～
x，y，3z,0,所以s ,n～ 从而直线与平面x,y,z，1,0的夹角为0, ,x,y,z,0, 10, 试确定下列各组中的直线和平面间的关系: y，4x，3z,, (1)和4x,2y,2z,3, ,2,73
解 所给直线的方向向量为s,(,2～ ,7～ 3)～ 所给平面的法线向量为n,(4～ ,2～ ,2),
因为s,n,(,2)，4，(,7)，(,2)，3，(,2),0～ 所以s,n～ 从而所给直线与所给平面平行, 又因为直线上的点(,3～ ,4～ 0)不满足平面方程4x,2y,2z,3～ 所以所给直线不在所给平面上,
yxz,, (2)和3x,2y，7z,8, 3,27
解 所给直线的方向向量为s,(3～ ,2～ 7)～ 所给平面的法线向量为n,(3～ ,2～ 7),
因为s,n～ 所以所给直线与所给平面是垂直的, y，2x,2z,3,, (3)和x，y，z,3, 31,4
解 所给直线的方向向量为s,(3～ 1～ ,4)～ 所给平面的法线向量为n,(1～ 1～ 1),
因为s,n,3，1，1，1，(,4)，1,0～ 所以s,n～ 从而所给直线与所 给平面平行, 又因为直线上的点(2～ ,2～ 3)满足平面方程x，y，z,3～ 所以所给直线在所给平面上,
x，2y,z，1,02x,y，z,0,, 11, 求过点(1～ 2～ 1)而与两直线和 ,,x,y，z,1,0x,y，z,0,,平行的平面的方程,
解 已知直线的方向向量分别为 ijk
～ s,(1, 2, ,1)，(1, ,1, 1),12,1,i,2j,3k1 1,11 ijk
, s,(2, ,1, 1)，(1, ,1, 1),2,11,,j,k1 1,11
同济大学第六版高等数学上下册课后习题答案7-6
