分层限时跟踪练(二十七)
(限时40分钟) [基 础 练]
扣教材 练双基
一、选择题
1．已知数列{an}的通项公式为an＝n－2λn(n∈N)，则“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】 若数列{an}为递增数列，则有an＋1－an＞0，即2n＋1＞2λ对任意的n∈N
*
2
*
333
都成立，于是有3＞2λ，λ＜.由λ＜1可推得λ＜，但反过来，由λ＜不能得到λ＜
2221，因此“λ＜1”是“数列{an}为递增数列”的充分不必要条件，故选A.
【答案】 A
2．数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6等于( ) A．3×4 C．4
5
4
B．3×4＋1 D．4＋1
5
4
【解析】 当n≥1时，an＋1＝3Sn，则an＋2＝3Sn＋1， ∴an＋2－an＋1＝3Sn＋1－3Sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1， ∴该数列从第二项开始是以4为公比的等比数列．
??1
又a2＝3S1＝3a1＝3，∴an＝?
?3×4n－?
＝，
∴当n＝6时，a6＝3×4【答案】 A
6－2
＝3×4.
4
3．(2015·大庆模拟)在数列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，则其通项公式an＝( ) A．2－1 C．2n－1
nB．2
n－1
＋1
D．2(n－1)
n【解析】 法一 由an＋1＝2an＋1，可得a2＝3，a3＝7，a4＝15，…，验证可知an＝2－1(n∈N)．
*
法二 由题意知an＋1＋1＝2(an＋1)，∴数列{an＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
∴an＋1＝2，∴an＝2－1(n∈N)．
nn*
【答案】 A
4．(2015·昆明模拟)数列{an}满足an＋1＋an＝2n－3，若a1＝2，则a8－a4＝
( )
A．7 C．5
B．6 D．4
【解析】 依题意得(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)＝[2(n＋1)－3]－(2n－3)，即an＋2－an＝2，所以a8－a4＝(a8－a6)＋(a6－a4)＝2＋2＝4.
【答案】 D
5．(2015·福州模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a2n－2an＋1(n∈N)，则a2 014＝( ) A．1 C．2 014
2
*
B．0 D．－2 014
2
2
【解析】 ∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)＝0，a3＝(a2－1)＝1，a4＝(a3－1)＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2 014＝a2＝0，选B.
【答案】 B 二、填空题
6．(2015·大连模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋2n＋1(n∈N)，则an＝. 【解析】 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，当n＝1时，a1＝S1＝4≠2×1＋1，因此
??4，n＝1，an＝?
?2n＋1，n≥2.?
2
*
??4，n＝1【答案】 ?
?2n＋1，n≥2?
7．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1·an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝.
【解析】 ∵(n＋1)a2n＋1＋an＋1·an－na2n＝0， ∴(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan]＝0， 又an＋1＋an＞0，∴(n＋1)an＋1－nan＝0， 即
an＋1na2a3a4a5an＝，∴····…·＝ ann＋1a1a2a3a4an－1
1234n－11××××…×，∴an＝. 2345nn1【答案】
n
an
8．已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为．
n【解析】 因为Sn＝2an－1，
高考数学一轮复习第五章数列分层限时跟踪练27
