小中高 精品 教案 试卷
第二讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用
考点一 指数函数、对数函数及幂函数
1.指数与对数式的运算公式 (1)a·a=amnmnm+n,
(2)(a)=a,
(3)(ab)=ab.其中,a>0,b>0. (4)loga(MN)=logaM+logaN, (5)loga=logaM-logaN, (6)logaM=nlogaM, (7)alogNmnmmmMNna=N,
logbN(8)logaN=.其中,a>0且a≠1,b>0且b≠1,M>0,N>0.
logba2.指数函数、对数函数的图象和性质
指数函数y=a(a>0,a≠1)与对数函数y=logax(a>0,a≠1)的图象和性质,分0 xa>1两种情况:当a>1时,两函数在定义域内都为增函数,当0 都为减函数. [对点训练] ?1?b1.(2024·河南洛阳二模)已知点?a,?在幂函数f(x)=(a-1)x的图象上,则函数f(x) ?2? 是( ) A.奇函数 C.定义域内的减函数 B.偶函数 D.定义域内的增函数 ?1?bb[解析] ∵点?a,?在幂函数f(x)=(a-1)x的图象上,∴a-1=1,解得a=2,则2 ?2? 1-1 =,∴b=-1,∴f(x)=x,∴函数f(x)是定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上的奇函数,且2在每一个区间内是减函数.故选A. [答案] A 制作不易 推荐下载 1 小中高 精品 教案 试卷 1 2.(2024·天津卷)已知a=log2e,b=ln2,c=log1 ,则a,b,c的大小关系为( ) 32A.a>b>c C.c>b>a B.b>a>c D.c>a>b [解析] 由已知得c=log23,∵log23>log2e>1,b=ln2<1,∴c>a>b,故选D. [答案] D 3.(2024·山东潍坊一模)若函数f(x)=a-a(a>0且a≠1)在R上为减函数,则函数 x-xy=loga(|x|-1)的图象可以是( ) [解析] 因函数f(x)=a-a(a>0且a≠1)在R上为减函数,故0 易知函数y=loga(|x|-1)是偶函数,定义域为{x|x>1或x<-1},x>1时函数y=loga(|x|-1)的图象可以通过函数y=logax的图象向右平移1个单位得到,故选D. [答案] D 4.(2024·江西九江七校联考)若函数f(x)=log2(x-ax-3a)在区间(-∞,-2]上是减函数,则实数a的取值范围是________. [解析] 由题意得x-ax-3a>0在区间(-∞,-2]上恒成立且函数y=x-ax-3a在(-∞,-2]上递减,则≥-2且(-2)-(-2)a-3a>0,解得实数a的取值范围是[-4,4). 2 [答案] [-4,4) [快速审题] 看到指数式、对数式,想到指数、对数的运算性质;看到指数函数、对数函数、幂函数,想到它们的图象和性质. 2 2 2 x-xa2 基本初等函数的图象与性质的应用技巧 (1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值,当底数a的值不确定时,要注意分a>1和01时,两函数在定义域内都为增函数;当0 (2)由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数,其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质,然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关 制作不易 推荐下载 2 小中高 精品 教案 试卷 系进行判断. (3)对于幂函数y=x的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同. 考点二 函数的零点 1.函数的零点及其与方程根的关系 对于函数f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数f(x)的零点.函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标. 2.零点存在性定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根. 角度1:确定函数的零点个数或其存在范围 α [解析] 当x≤0时, 由f(x)=0,即x+2017x-2024=0, 得(x-1)(x+2024)=0, 解得x=1(舍去)或x=-2024; 当x>0时,设g(x)=x-2,h(x)=lnx,如图,分别作出两个函数的图象, 2 由图可知,两函数图象有两个交点,所以函数f(x)在x>0时有两个零点. 综上,函数f(x)有3个零点,故选C. [答案] C [快速审题] 看到函数的零点,想到求方程的根或转化为函数图象的交点. 角度2:应用零点求参数的值(范围) 制作不易 推荐下载 3 小中高 精品 教案 试卷 1 [解析] 在平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象,如图,而函数y=mx-恒过定 21?1???点?0,-?,设过点?0,-?与函数y=lnx的图象相切的直线为l1,切点坐标为(x0,lnx0).因2?2???1 lnx0+2111 为y=lnx的导函数y′=,所以图中y=lnx的切线l1的斜率为k=,则=,解 xx0x0x0-0得x0=e,所以k= 1 11 .又图中l2的斜率为,故当方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实 22e e??1 数根时,实数m的取值范围是?,?. ?2e? e??1 [答案] ?,? ?2e? 1 [探究追问] 将例2中“方程f(x)=mx-恰有四个不相等的实数根”改为“方程f(x) 2 制作不易 推荐下载 4 小中高 精品 教案 试卷 ?5?=m?x-?恰有三个不相等的实数根”,结果如何? ?4? ?5?[解析] 在平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象,如图.函数y=m?x-?恒过定?4??5??5?22 点?,0?,设过点?,0?与函数y=1-x的图象相切的直线为l1,设切点坐标为(x0,1-x0),?4??4? 1-x0因为y=1-x(x≤1)的导函数y′=-2x0,所以切线l1斜率k=-2x0,则-2x0=,解 5x0- 4 2 2 1?5?得x0=或x0=2(舍).所以直线l1的斜率为-1,结合图可知,当方程f(x)=m?x-?恰有2?4?三个不相等的实根时,实数m的取值范围是(-1,0). [答案] (-1,0) (1)判断函数零点个数的3种方法 (2)利用函数零点的情况求参数值(或范围)的3种方法 制作不易 推荐下载 5