3.1.3 导数的几何意义
课时目标 1.了解导函数的概念；理解导数的几何意义.2.会求导函数.3.根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．
1．导数f′(x0)表示函数____________________，反映了 ________________________________________．
2．函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线在该点的切线斜率，相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．
3．如果把y＝f(x)看做是物体的运动方程，那么导数f′(x0)表示运动物体在时刻x0的瞬时速度．
当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数．这样，当x变化时，f′(x)便是x的一个函数，称它为f(x)的________(简称________)，有时记作y′，即f′(x)＝y′＝________________.
一、选择题
1．已知曲线y＝2x3上一点A(1,2)，则A处的切线斜率等于( ) A．2 B．4 C．6＋6Δx＋2(Δx)2 D．6
2．如果曲线y＝f(x)在点(2,3)处的切线过点(－1,2)，则有( ) A．f′(2)<0 B．f′(2)＝0 C．f′(2)>0 D．f′(2)不存在 3．下面说法正确的是( )
A．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线 B．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处有切线，则f′(x0)必存在
C．若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率不存在 D．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处没有切线，则f′(x0)有可能存在
4．若曲线y＝h(x)在点P(a，h(a))处的切线方程为2x＋y＋1＝0，那么 ( ) A．h′(a)＝0 B．h′(a)<0 C．h′(a)>0 D．h′(a)不确定
5．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( ) A．不存在 B．与x轴平行或重合 C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
6．已知函数f(x)的图象如图所示，下列数值的排序正确的是 ( )
A．0 1，f(－1))处的切线的斜率为________． 8．过点P(－1,2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是________． 9．如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________. 三、解答题 10．试求过点P(1，－3)且与曲线y＝x2相切的直线的斜率． 11．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1 (a<0)．若曲线y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行，求a的值． 能力提升 12．已知抛物线f(x)＝ax2＋bx－7通过点(1,1)，且过此点的切线方程为4x－y－3＝0，求a，b的值． 13．在曲线E：y＝x2上求出满足下列条件的点P的坐标． (1)在点P处与曲线E相切且平行于直线y＝4x－5； (2)在点P处与曲线E相切且与x轴成135°的倾斜角． 1．导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 f?x0＋Δx?－f?x0? k＝lim＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度． Δxx?02．“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f′(x0)是其导数y＝f′(x)在x＝x0处的一个函数值，求函数在一点处的导数，一般先求出函数的导数，再计算这一点处的导数值． 3．利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则切线方程为y－f(x0)＝f′(x0) (x－x0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 3．1.3 导数的几何意义 答案 知识梳理 1．f(x)在x＝x0处的瞬时变化率 函数f(x)在x＝x0附近的变化情况 f?x＋Δx?－f?x? 3．导函数 导数 Δlim x→0Δx作业设计 1．D [∵y＝2x3， 2?x＋Δx?3－2x3Δy ∴y′＝Δlim ＝Δlim x→0Δxx→0Δx 2?Δx?3＋6x?Δx?2＋6x2Δx＝Δlim x→0Δx＝Δlim [2(Δx)2＋6xΔx＋6x2]＝6x2. x→0∴y′|x＝1＝6.∴点A(1,2)处切线的斜率为6.] 2．C [由题意知切线过(2,3)，(－1,2)， 2－3－11 所以k＝f′(2)＝＝＝>0.] －1－2－33 3．C [f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的斜率．] 4．B [2x＋y＋1＝0，得y＝－2x－1， 由导数的几何意义知，h′(a)＝－2<0.] 5．B [曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率为0，切线与x轴平行或重合．] 6．B [根据导数的几何意义，在x∈[2,3]时， 曲线上x＝2处切线斜率最大， f?3?－f?2?k＝＝f(3)－f(2)>f′(3)．] 3－27．－1 解析 由偶函数的图象和性质可知应为－1. 8．2x－y＋4＝0 解析 由题意知，Δy＝3(1＋Δx)2－4(1＋Δx)＋2－3＋4－2＝3Δx2＋2Δx， Δy ∴y′＝Δlim ＝2. x→0Δx ∴所求直线的斜率k＝2. 则直线方程为y－2＝2(x＋1)，即2x－y＋4＝0. 9．2 解析 ∵点P在切线上，∴f(5)＝－5＋8＝3， 又∵f′(5)＝k＝－1， ∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2. 2. 10．解 设切点坐标为(x0，y0)，则有y0＝x0 ?x＋Δx?2－x2Δy 因y′＝Δlim＝lim＝2x. x→0ΔxΔx→0Δx∴k＝y′|x＝x0＝2x0. 因切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)， 2将点(1，－3)代入，得：－3－x20＝2x0－2x0， 2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3. ∴x0000 当x0＝－1时，k＝－2；当x0＝3时，k＝6. ∴所求直线的斜率为－2或6. 11．解 ∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0) 2 ＝(x0＋Δx)3＋a(x0＋Δx)2－9(x0＋Δx)－1－(x30＋ax0－9x0－1)
人教a版数学【选修1-1】3.1.3导数的几何意义(含答案)
