意，必须能断定“所求二面角的平面角是锐角、直角或钝角”，在用法向量法求二面角的大小时，务必要作出这个判断，否则解法是不严谨的.
【训练3】 (2016·浙江卷)如图，在三棱台ABC－DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3.
(1)求证：BF⊥平面ACFD；
(2)求二面角B－AD－F的平面角的余弦值.
(1)证明 延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示.
因为平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，且AC⊥BC，所以AC⊥平面BCK， 因此BF⊥AC.
又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK，
且CK∩AC＝C，CK，AC?平面ACFD， 所以BF⊥平面ACFD.
(2)解 法一 过点F作FQ⊥AK于Q，连接BQ.
因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK. 所以∠BQF是二面角B－AD－F的平面角.
313
在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得AK＝13，FQ＝13.
313
在Rt△BQF中，FQ＝13，BF＝3，
3
得cos∠BQF＝4.
3
所以，二面角B－AD－F的平面角的余弦值为4.
法二 如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形. 取BC的中点O，连接KO，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，平面BCFE∩平面ABC＝BC，所以KO⊥平面ABC.
以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x轴，z轴的正方向， 建立空间直角坐标系O－xyz.
?13?
由题意得B(1，0，0)，C(－1，0，0)，K(0，0，3)，A(－1，－3，0)，E?，0，?，
2??2
?13?F?－，0，?.
2??2
因此，AC＝(0，3，0)，AK＝(1，3，3)，AB＝(2，3，0).
设平面ACK的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面ABK的法向量为n＝(x2，y2，z2).
→
→
→
?AC·m＝0，??3y1＝0，由?得?
?x1＋3y1＋?AK·m＝0，?
→
→
3z1＝0，
取m＝(3，0，－1)；
?AB·n＝0，??2x2＋3y2＝0，由?得?
?x2＋3y2＋3z2＝0，?AK·n＝0，?
→
→
取n＝(3，－2，3).
m·n3
于是，cos〈m，n〉＝＝.
|m|·|n|4
3
所以，二面角B－AD－F的平面角的余弦值为4.
?π?
1.两条直线夹角的范围为?0，?.设直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2，其夹角为θ，则cos
2??
|n1·n2|
θ＝|cosn1，n2|＝. |n1||n2|
2.二面角的范围为[0，π].设半平面α与β的法向量分别为n1与n2，二面角为θ，则|cos θ|＝
|n1·n2|
|cosn1，n2|＝. |n1||n2|
3.利用空间向量求解二面角时，易忽视二面角的范围，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错.
4.空间向量在处理空间问题时具有很大的优越性，能把“非运算”问题“运算”化，即通过直线的方向向量和平面的法向量，把立体几何中的平行、垂直关系，各类角、距离以向量的方式表达出来，把立体几何问题转化为空间向量的运算问题.应用的核心是充分认识形体特征，进而建立空间直角坐标系，通过向量的运算解答问题，达到几何问题代数化的目的，同时注意运算的准确性.
1.(2017·金华调研)如图，AB＝BE＝BC＝2AD＝2，且AB⊥BE，∠DAB＝60°，AD∥BC，BE⊥AD.
(1)求证：平面ADE⊥平面BDE；
(2)求直线AD与平面DCE所成角的正弦值.
(1)证明 ∵AB＝2AD，∠DAB＝60°，∴AD⊥DB， 又BE⊥AD，且BD∩BE＝B，∴AD⊥平面BDE， 又AD?平面ADE，∴平面ADE⊥平面BDE.
(2)解 ∵BE⊥AD，AB⊥BE，∴BE⊥平面ABCD， ∴点E到平面ABCD的距离就是线段BE的长为2，
设AD与平面DCE所成角为θ，点A到平面DCE的距离为d，
1130
由V三棱锥A－DCE＝V三棱锥E－ADC得3×d×S△CDE＝3×|BE|×S△ACD，解得d＝10，
d30
而AD＝1，则sin θ＝|AD|＝10，
30
故直线AD与平面DCE所成角的正弦值为10. 2.(2017·衢州调研)已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是菱形，∠ADC＝120°，AD的中点M
是顶点P在底面ABCD的射影，N是PC的中点.
(1)求证：平面MPB⊥平面PBC；
(2)若MP＝MC，求直线BN与平面PMC所成角的正弦值. (1)证明 ∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°， 且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC. 又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点， ∴PM⊥平面ABCD，
又∵BC?平面ABCD，∴PM⊥BC，
而PM∩MB＝M，PM，MB?平面PMB， ∴BC⊥平面PMB，又BC?平面PBC， ∴平面MPB⊥平面PBC.
(2)解 法一 过点B作BH⊥MC，连接HN，
∵PM⊥平面ABCD，BH?平面ABCD，∴BH⊥PM， 又∵PM，MC?平面PMC，PM∩MC＝M， ∴BH⊥平面PMC，
∴HN为直线BN在平面PMC上的射影， ∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角， 在菱形ABCD中，设AB＝2a，则MB＝AB·sin 60°＝3a， MC＝DM2＋DC2－2DM·DC·cos 120°＝7a. 又由(1)知MB⊥BC，
2a·3a221
∴在△MBC中，BH＝＝7a，
7a
由(1)知BC⊥平面PMB，PB?平面PMB，
114
∴PB⊥BC，∴BN＝2PC＝2a，
221
7a26BH
∴sin∠BNH＝BN＝＝7.
142a法二 由(1)知MA，MB，MP两两互相垂直，以M为坐标原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，不妨设MA＝1，
则M(0，0，0)，A(1，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，7)，C(－2，3，0)，
?37?
∵N是PC的中点，∴N?－1，，?，
22??
设平面PMC的法向量为n＝(x0，y0，z0)，
又∵MP＝(0，0，7)，MC＝(－2，3，0)，
→→
?n·MP＝0，??7z0＝0，∴?即?
?－2x0＋3y0＝0，?n·MC＝0，?
→
→
?3?7
令y0＝1，则n＝?，1，0?，|n|＝2，
?2?
→→?1437?
??又∵BN＝－1，－，，|BN|＝2，
22??
|BN·n|26
|cos〈BN，n〉|＝→＝7. |BN||n|
→
→
26
所以，直线BN与平面PMC所成角的正弦值为7.
3.(2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点.
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.
2
(1)证明 由已知得AM＝3AD＝2.
取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知
1
TN∥BC，TN＝2BC＝2. 形，于是MN∥AT. PAB.
又AD∥BC，故TN綉AM，四边形AMNT为平行四边因为AT?平面PAB，MN?平面PAB，所以MN∥平面(2)解 取BC的中点E，连接AE. 由AB＝AC得AE⊥BC，
?BC?2222
从而AE⊥AD，AE＝AB－BE＝AB－?2?＝5.
??
→
以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.
→→?5?
由题意知，P(0，0，4)，M(0，2，0)，C(5，2，0)，N?，1，2?，PM＝(0，2，－4)，PN＝
?2?
→?5??5?
?，1，－2?，AN＝?，1，2?. ?2??2?
设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则
→
2y－4z＝0，
?n·PM＝0，?
即?5可取n＝(0，2，1). ?→
?n·PN＝0，?2x＋y－2z＝0，于是cos〈n，AN〉＝
→
85
＝→
25. |n||AN|
n·AN
→
85
设AN与平面PMN所成的角为θ，则sin θ＝25，
85
∴直线AN与平面PMN所成的角的正弦值为25. 4.(2017·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
1
AB＝BC＝2AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点.
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值. (1)证明 取PA的中点F，连接EF，BF，
1
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝2AD. 由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，
1
又BC＝2AD，所以EF綉BC，
四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF， 又BF?平面PAB， CE?平面PAB， 故CE∥平面PAB.
(2)解 由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，向，|AB|为单位长，建立如图所示的空间直角A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，PC＝(1，0，－3)，AB＝(1，0，0). 设M(x，y，z)(0 BM＝(x－1，y，z)，PM＝(x，y－1，z－3). 因为BM与底面ABCD所成的角为45°， 而n＝(0，0，1)是底面ABCD的法向量， 所以|cos〈BM，n〉|＝sin 45°， |z|2 ＝， 2222（x－1）＋y＋z 即(x－1)2＋y2－z2＝0.① 又M在棱PC上，设PM＝λPC (0＜λ≤1)，则 x＝λ，y＝1，z＝3－3λ.② → → → → → → → → AB的方向为x轴正方坐标系A－xyz，则 1，3)， →
2020届[步步高]高考数学专题复习讲义
