∵PA＝PD，∴PE⊥AD. 由(1)知，AB⊥平面PAD，
故AB⊥PE，可得PE⊥平面ABCD.
2
设AB＝x，则由已知可得AD＝2x，PE＝2x， 故四棱锥P－ABCD的体积
11
VP－ABCD＝3AB·AD·PE＝3x3.
138
由题设得3x＝3，故x＝2.
从而PA＝PD＝AB＝DC＝2，AD＝BC＝22，PB＝PC＝22， 可得四棱锥P－ABCD的侧面积为 11112PA·PD＋PA·AB＋PD·DC＋2222BCsin 60°＝6＋23.
13.(2017·全国Ⅱ卷)如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，
1
AB＝BC＝2AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.
(1)证明：直线BC∥平面PAD；
(2)若△PCD的面积为27，求四棱锥P－ABCD的体积. (1)证明 在底面ABCD中，因为∠BAD＝∠ABC＝90°， 所以BC∥AD，
又BC?平面PAD，AD?平面PAD， ∴直线BC∥平面PAD.
1
(2)解 取AD的中点M，连接PM，CM，由AB＝BC＝2AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四边形ABCM为正方形，则CM⊥AD.
因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.
因为CM?底面ABCD，所以PM⊥CM.
设BC＝x，则CM＝x，CD＝2x，PM＝3x，PC＝PD＝2x. 取CD的中点N，连接PN.
14
则PN⊥CD，所以PN＝2x.
114
因为△PCD的面积为27，所以2×2x×2x＝27， 解得x＝－2(舍去)或x＝2.
于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝23.
12（2＋4）
所以四棱锥P－ABCD的体积V＝3××23＝43. 2
14.(2016·全国Ⅰ卷)如图，已知正三棱锥P－ABC的侧面是直角三角形，PA＝6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G.
(1)证明：G是AB的中点；
(2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由)，并求四面体PDEF的体积. (1)证明 因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD.
因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE，且PD∩DE＝D， 所以AB⊥平面PED，又PG?平面PED，故AB⊥PG. 又由已知可得，PA＝PB，从而G是AB的中点.
(2)解 在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影.
理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，又PA∩PC＝P，
因此EF⊥平面PAC，
即点F为E在平面PAC内的正投影.
连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D， 所以D是正三角形ABC的中心.
2
由(1)知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD＝3CG. 由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB， 所以DE∥PC，
21
因此PE＝3PG，DE＝3PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA＝6， 可得DE＝2，PE＝22.
在等腰直角三角形EFP中， 可得EF＝PF＝2.
所以四面体PDEF的体积
114V＝3×2×2×2×2＝3. 第2讲 立体几何中的空间角问题
高考定位 以空间几何体为载体考查空间角(以线面角为主)是高考命题的重点，常与空间线面
关系的证明相结合，热点为空间角的求解，常以解答题的形式进行考查，高考注重以传统方法解决空间角问题，但也可利用空间向量来求解.
真 题 感 悟
(2017·浙江卷)如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点.
(1)证明：CE∥平面PAB；
(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值. 法一 (1)证明 如图，
设PA中点为F，连接EF，FB. 因为E，F分别为PD，PA中点，
1
所以EF∥AD且EF＝2AD，
1
又因为BC∥AD，BC＝2AD， 所以EF∥BC且EF＝BC，
即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF. 又因为CE?平面PAB，BF?平面PAB， 因此CE∥平面PAB.
(2)解 分别取BC，AD的中点为M，N， 连接PN交EF于点Q，连接MQ.
因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点， 在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.
由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD. 由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD. 因为PN∩BN＝N，所以AD⊥平面PBN. 由BC∥AD得BC⊥平面PBN，
因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PBN.
过点Q作PB的垂线，垂足为H，则QH⊥平面PBC.连接MH，则MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD＝1. 在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝2得CE＝2，
1
在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝3得QH＝4，
1
在Rt△MQH中，QH＝4，MQ＝2，
2
所以sin∠QMH＝8，
2
所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是8. 法二 过P作PH⊥CD，交CD的延长线于点H.不妨设AD＝2，∵BC∥AD，CD⊥AD，则易
1
求DH＝2，过P作底面的垂线，垂足为O，连接OB，OH，易得OH∥BC，且OP，OB，OH两两垂直.故可以O为原点，以OH，OB，OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图所示.
(1)证明 由PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点，则可得：
??111?3?1?3?????3?3?
???????????D－1，2，0，C－1，2，0，P0，0，，A1，2，0，B0，2，0，E－，，?，
2?4???????????24
→?153?→?13?→?33?
?????则CE＝，－，，PA＝1，，－，PB＝0，，－?.
44?22?22??2??
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
→13n·PA＝x＋2y－2z＝0，则
→33n·PB＝2y－2z＝0.
???
x＝1，??
令y＝1，则?y＝1，
??z＝3，
?5?13
??∴n＝(1，1，3)，∴CE·n＝2×1＋－4×1＋4×3＝0. ??
又∵CE?平面PAB，∴CE∥平面PAB.
→?33?
(2)解 由(1)得PC＝?－1，，－?.
22??
设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，
→33m·PB＝2y－2z＝0，则
→33m·PC＝－x＋2y－2z＝0.
→
???
x＝0，??
令y＝1，则?y＝1，
??z＝3，∴m＝(0，1，3).
1
→2|m·CE|2
设直线CE与平面PBC所成的角为θ，则sin θ＝|cos〈m，CE〉|＝＝8. →＝
4×2|m||CE|
2
∴直线CE与平面PBC所成角的正弦值为8. 考 点 整 合
1.求异面直线所成角的方法
→
方法一：几何法.用几何法求两条异面直线所成角的步骤为：①利用定义构造角，可固定一条直线，平移另一条直线，或将两条直线同时平移到某个特殊的位置；②证明找到(或作出)的角即为所求角；③通过解三角形来求角.
方法二：空间向量法.用空间向量法求两条异面直线a，b所成角θ的步骤为：①求出直线a，b
m·n
的方向向量，分别记为m，n；②计算cos〈m，n〉＝；③利用cos θ＝|cos〈m，n〉|，
|m||n|
以及θ∈(0°，90°]，求出角θ. 2.求直线与平面所成角的方法
方法一：几何法.用几何法求直线l与平面α所成角的步骤为：①找出直线l在平面α上的射影；②证明所找的角就是所求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角. 方法二：空间向量法.用空间向量法求直线AB与平面α所成角θ的步骤为：①求出平面α的法
→AB·n
向量n与直线AB的方向向量AB；②计算cos〈AB，n〉＝→；③利用sin θ＝|cos〈AB，n〉
|AB||n|
|，以及θ∈[0°，90°]，求出角θ. 3.求二面角的方法
方法一：几何法.用几何法求二面角α－l－β的平面角θ的步骤为：①找出二面角的平面角(以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角)；②证明所找的角就是要求的角；③把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形来求角.求二面角的平面角的口诀：点在棱上，边在面内，垂直于棱，大小确定. 方法二：空间向量法.用空间向量法求二面角α－l－β的平面角θ的步骤为：①求两个半平面
m·n
α，β的法向量m，n；②计算cos〈m，n〉＝；③根据图形和计算结果判断θ是锐角、直
|m||n|
角，还是钝角，从而得出θ与〈m，n〉是相等关系还是互补关系.
→
→
→
热点一 求线线角 【例1】 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥底面ABCD，E是PC的中点.已知AB＝2，AD＝22，PA＝2，求异面直线BC与AE所成角的大小.
解 法一 如图1，取PB的中点F，连接EF，AF，则EF∥BC，从而∠AEF(或其补角)是异面直线BC与AE所成的角.在△AEF中，由EF＝2，AF＝2，AE＝2，知△AEF是等腰直角三
ππ
角形，所以∠AEF＝4.因此，异面直线BC与AE所成角的大小是4. 图1 图2
(1，2，1)，BC＝(0，22，0).
→
→
法二 如图2，建立空间直角坐标系，则B(2，0，0)，C(2，22，0)，E(1，2，1)，AE＝
2020届[步步高]高考数学专题复习讲义
